AMC 10 · 2017 · #8
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AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
악수를 직접 세면 모르는 사이가 두 그룹에 걸쳐 있어 번거롭다. 하지만 어느 두 사람이든 정확히 한 가지만 한다: 포옹 아니면 악수. 그래서 Tool #16 (관점 바꾸기)으로 악수 = 전체 쌍 − 포옹 쌍으로 바꾼다. Tool #2 (빠짐없이 나열하기)는 쌍을 깔끔하게 세는 방법을 준다: 각 사람이 다른 모든 사람과 만나는 횟수를 센 뒤, 한 쌍을 두 번 센 것을 반으로 나눈다. Tool #7 (작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 개의 쉬운 셈 — 전체 쌍과 포옹 쌍 — 으로 나누고, 마지막 한 번의 뺄셈으로 마무리한다.
포옹 아니면 악수, 둘 중 하나
두 사람은 포옹 아니면 악수, 정확히 하나다. 그러니 악수는 포옹을 뺀 나머지 모든 쌍이다.
각 쌍이 두 가지 중 정확히 하나만 한다면, 한 종류를 세는 일은 전체에서 빼는 것과 같다.
4.OA.A.3Count The Complement방 안의 모든 쌍 세기
30명이 저마다 나머지 29명과 만나 30 × 29, 두 번 센 것을 반으로 나누면 435쌍이다.
모든 사람이 29명과 만나지만 너와 나는 같은 한 쌍이므로 전체를 반으로 나눈다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List포옹 세기
포옹은 서로 아는 20명 안에서만 일어나니 같은 방법으로 센다: (20 × 19)/2 = 190쌍.
같은 쌍 세기 방법은 어느 그룹에나 통하므로 포옹은 20명 안의 쌍일 뿐이다.
4.NBT.B.6Identify Subproblems빼서 악수 구하기
전체 쌍에서 포옹을 빼면 남은 쌍이 악수다: 435 - 190 = 245, 곧 선택지 (B)다.
포옹이 아닌 쌍은 모두 악수이므로 한 번의 뺄셈으로 셈이 끝난다.
3.NBT.A.2Count The Complement모든 쌍이 두 가지 중 정확히 하나만 한다면, 전체 쌍을 센 다음 원하지 않는 종류를 빼면 된다.
- 포옹 아니면 악수, 둘 중 하나
- 방 안의 모든 쌍 세기
- 포옹 세기
- 빼서 악수 구하기