AMC 10 · 2007 · #2

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationformula-substitutionorder-of-operations formula-substitution ↑ 선수 지식: order-of-operations

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$a@b = ab - b^{2}$ 이고 $a\#b = a + b - ab^{2}$ 로 정의한다. $\frac {6@2}{6\#2}$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$- \frac {1}{2}$

(B)

$- \frac {1}{4}$

(C)

$\frac {1}{8}$

(D)

$\frac {1}{4}$

(E)

$\frac {1}{2}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 개의 새로 만든 연산이 규칙으로 정의됩니다: $a@b = ab - b^{2}$ 그리고 $a\#b = a + b - ab^{2}$. 이 규칙을 이용해 분수 $\dfrac{6@2}{6\#2}$의 값을 구하세요.

주어진 것: 규칙 $a@b = ab - b^{2}$; 규칙 $a\#b = a + b - ab^{2}$; 구할 대상은 분수 $\dfrac{6@2}{6\#2}$; 선택지: (A) $-\frac{1}{2}$, (B) $-\frac{1}{4}$, (C) $\frac{1}{8}$, (D) $\frac{1}{4}$, (E) $\frac{1}{2}$

구하는 것: $\dfrac{6@2}{6\#2}$의 수치 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

분수는 결국 분자를 분모로 나눈 것이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 이 일을 세 조각으로 나눕니다: 분자 $6@2$ 계산, 분모 $6\#2$ 계산, 그다음 나누기. 각 새 연산은 규칙에 값을 대입하는 것뿐입니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 점검을 줍니다: 분자가 양수, 분모가 음수로 나오면 답은 반드시 음수이므로 다섯 선택지 중 셋을 바로 지울 수 있습니다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 1

두 규칙 읽기

각 새 기호는 요리법입니다.
$a@b = ab - b^{2}$에서 글자 $a$는 첫 번째 수를, $b$는 두 번째 수를 나타냅니다.
$a\#b = a + b - ab^{2}$에서도 같습니다.
$6@2$와 $6\#2$ 모두 $a = 6$, $b = 2$를 대입합니다.
분수의 위(분자)와 아래(분모)를 따로 떨어진 두 문제로 다룹니다.

$$a = 6, \quad b = 2$$

💡 새로 만든 기호는 사용 설명서일 뿐 — 글자가 표시한 칸에 수를 그대로 옮겨 넣습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 2

분자 계산

$@$ 규칙을 적용합니다: $6@2 = (6)(2) - 2^{2}$.
먼저 거듭제곱: $2^{2} = 4$.
그다음 곱: $6 \times 2 = 12$.
빼기: $12 - 4 = 8$.
따라서 분자는 $8$입니다.

$$6@2 = 6\cdot 2 - 2^{2} = 12 - 4 = 8$$

💡 거듭제곱 먼저, 그다음 곱, 마지막에 빼기 — 연산 순서가 요리법을 정확하게 지켜줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.1 단계 3

분모 계산

$\#$ 규칙을 적용합니다: $6\#2 = 6 + 2 - 6\cdot 2^{2}$.
다시 거듭제곱 먼저: $2^{2} = 4$이므로 $6\cdot 2^{2} = 6 \times 4 = 24$.
앞부분은 $6 + 2 = 8$.
이제 $8 - 24 = -16$, 음수입니다.
따라서 분모는 $-16$입니다.

$$6\#2 = 6 + 2 - 6\cdot 2^{2} = 8 - 24 = -16$$

💡 작은 수에서 더 큰 수를 빼면 0 아래로 내려가 — 결과는 음수가 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.2 단계 4

위를 아래로 나누기

분수는 $\dfrac{6@2}{6\#2} = \dfrac{8}{-16}$입니다.
양수를 음수로 나누면 음수이고 $\dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$이므로 값은 $-\dfrac{1}{2}$입니다.
이것은 선택지 (A)와 일치합니다.

$$\dfrac{6@2}{6\#2} = \dfrac{8}{-16} = -\dfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 위와 아래의 숫자는 같고 부호만 반대이면 분수는 간단한 크기로 줄고 앞에 마이너스가 붙습니다.

[1] #7 6.EE.A.2 각 새 기호는 요리법입니다. $a@b = ab - b^{2}$에서 글자 $a$는 첫 번째 수를, $b$는 두 번째 수를 나타냅니다. $a\#b

[2] #7 6.EE.A.1 $@$ 규칙을 적용합니다: $6@2 = (6)(2) - 2^{2}$. 먼저 거듭제곱: $2^{2} = 4$. 그다음 곱: $6 \times 2

[3] #7 7.NS.A.1 $\#$ 규칙을 적용합니다: $6\#2 = 6 + 2 - 6\cdot 2^{2}$. 다시 거듭제곱 먼저: $2^{2} = 4$이므로 $6\cdo

[4] #7 7.NS.A.2 분수는 $\dfrac{6@2}{6\#2} = \dfrac{8}{-16}$입니다. 양수를 음수로 나누면 음수이고 $\dfrac{8}{16} = \

검토

합리성 확인: 각 조각을 다시 확인합니다: $6@2 = 12 - 4 = 8$이고 $6\#2 = 8 - 24 = -16$이므로 비율은 $8/(-16) = -1/2$입니다. 분자는 양수, 분모는 음수이므로 답은 반드시 음수여야 하며, 그것만으로 (A) $-\frac{1}{2}$와 (B) $-\frac{1}{4}$만 남고 정확한 나눗셈이 (A)를 고릅니다. 크기도 타당합니다: $8$은 $16$의 절반이므로 크기 $\frac{1}{2}$는 예상과 맞습니다.

대안 접근: 계산을 끝내기 전에 가능성 지우기를 씁니다. 분자 $6@2 = 12 - 4$는 분명히 양수이고 분모 $6\#2 = 8 - 24$는 분명히 음수이므로 분수는 음수 — (C), (D), (E)를 즉시 지웁니다. 그다음 나눗셈 한 번 $8 \div (-16)$이 남은 두 후보를 갈라 (A)에 도착합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (새 규칙 $a@b$와 $a\#b$를 읽고 $a = 6$, $b = 2$를 대입하는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (두 연산 안의 제곱 $2^{2} = 4$를 계산하고 연산 순서를 지키는 데 사용.)
7.NS.A.1 Apply and extend understanding of addition and subtraction to rational numbers (분모에서 $8 - 24 = -16$을 계산할 때, 뺄셈이 0 아래로 내려가는 데 사용.)
7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers ($8$을 $-16$으로 나누고 부호가 있는 분수를 $-\frac{1}{2}$로 줄이는 데 사용.)

⭐ 낯선 새 기호는 그냥 요리법입니다: 글자가 있는 자리에 수를 넣고 연산 순서를 지키며 분수의 위와 아래를 하나씩 계산하세요.