AMC 10 · 2007 · #1

학년 4 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

area-rectanglessurface-areamulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

Isabella의 집에는 침실이 $3$ 개 있다. 각 침실은 길이 $12$ 피트, 너비 $10$ 피트, 높이 $8$ 피트이다. Isabella는 모든 침실의 벽을 칠해야 한다. 칠하지 않을 문과 창문은 각 침실에서 $60$ 제곱피트를 차지한다. 칠해야 하는 벽은 몇 제곱피트인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 678$

(B)

$\ 768$

(C)

$\ 786$

(D)

$\ 867$

(E)

$\ 876$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 집에 똑같은 침실이 $3$개 있고, 각 침실은 길이 $12$피트, 너비 $10$피트, 높이 $8$피트이다. 각 침실에서 네 벽만 칠하며, 문과 창문 $60$제곱피트는 칠하지 않는다. 칠해야 하는 벽의 총 넓이를 제곱피트 단위로 구하여라.

주어진 것: 각 침실은 길이 $12$피트, 너비 $10$피트, 높이 $8$피트인 직육면체이다; 똑같은 침실이 $3$개 있다; 바닥과 천장은 칠하지 않고 벽만 칠한다; 각 침실에서 문과 창문 $60$제곱피트는 칠하지 않는다; 선택지: (A) $678$, (B) $768$, (C) $786$, (D) $867$, (E) $876$

구하는 것: 침실 $3$개 전체에서 칠해야 하는 벽의 총 제곱피트 수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기

총 넓이는 여러 작은 조각으로 이루어진다 — 한 침실의 네 벽 넓이, 칠하지 않는 문과 창문, 그리고 침실이 세 개라는 사실이다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 한 겹씩 푼다: 벽 하나, 침실 하나, 그다음 세 침실 전체. 도구 #1(그림 그리기)은 직육면체를 정확히 떠올려서 세로 벽 네 개(즉 $12\times8$ 두 개와 $10\times8$ 두 개)만 세고 바닥과 천장은 올바르게 빼도록 도와준다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 4.MD.A.3 단계 1

네 벽의 넓이 구하기

각 침실은 직육면체이다.
네 벽은 세로 면들이다.
길이 방향으로 마주 보는 두 벽은 각각 너비 $12$피트, 높이 $8$피트이므로 각각 $12\times8=96$제곱피트이다.
너비 방향으로 마주 보는 두 벽은 각각 너비 $10$피트, 높이 $8$피트이므로 각각 $10\times8=80$제곱피트이다.
바닥과 천장은 벽이 아니므로 세지 않는다.

$$12\times8=96,\qquad 10\times8=80$$

💡 벽은 결국 직사각형이고, 그 넓이는 너비 곱하기 높이이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 2

한 침실의 벽 더하기

$96$제곱피트짜리 벽이 두 개, $80$제곱피트짜리 벽이 두 개 있다.
네 벽을 모두 더하면 $96+96+80+80=352$이다.
따라서 한 침실은 문과 창문을 빼기 전에 벽 넓이가 $352$제곱피트이다.

$$2\times96+2\times80=192+160=352$$

💡 마주 보는 벽은 짝을 이루므로, 각 크기를 두 배 한 뒤 두 짝을 더한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 3

문과 창문 빼기

각 침실에서 문과 창문 $60$제곱피트는 칠하지 않는다.
이것을 벽 총 넓이에서 뺀다: $352-60=292$.
따라서 각 침실에는 $292$제곱피트의 페인트가 필요하다.

$$352-60=292$$

💡 문과 창문은 벽에 뚫린 구멍이므로, 그 넓이는 칠하는 넓이에서 빼준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 4

침실 세 개만큼 곱하기

세 침실은 모두 똑같아서 각각 $292$제곱피트가 필요하다.
$3$을 곱하면 $292\times3=876$이다.
이것이 칠해야 하는 벽의 총 넓이이고, 선택지 (E)와 일치한다.
(A) $678$과 (D) $867$은 이 숫자들의 자리를 뒤섞은 것이고, (B) $768$과 (C) $786$은 도중의 계산 실수에서 나온다.

$$292\times3=876\;\Rightarrow\;\textbf{(E)}$$

💡 똑같은 방이 세 개이면 같은 양이 세 개이므로, 한 방의 넓이에 3을 곱한다.

[1] #1 4.MD.A.3 각 침실은 직육면체이다. 네 벽은 세로 면들이다. 길이 방향으로 마주 보는 두 벽은 각각 너비 $12$피트, 높이 $8$피트이므로 각각 $12\

[2] #7 4.MD.A.3 $96$제곱피트짜리 벽이 두 개, $80$제곱피트짜리 벽이 두 개 있다. 네 벽을 모두 더하면 $96+96+80+80=352$이다. 따라서 한

[3] #7 4.NBT.B.4 각 침실에서 문과 창문 $60$제곱피트는 칠하지 않는다. 이것을 벽 총 넓이에서 뺀다: $352-60=292$. 따라서 각 침실에는 $292$제

[4] #7 4.NBT.B.5 세 침실은 모두 똑같아서 각각 $292$제곱피트가 필요하다. $3$을 곱하면 $292\times3=876$이다. 이것이 칠해야 하는 벽의 총 넓

검토

합리성 확인: 간단히 점검해 보자: 한 침실의 벽은 총 $352$제곱피트이고 그중 $60$제곱피트는 칠하지 않으므로 방마다 약 $290$제곱피트가 남는다. 세 방이면 대략 $3\times290\approx870$제곱피트로 $876$에 아주 가깝다. 답은 또한 $3$의 배수여야 하는데(똑같은 방 세 개), $876=3\times292$는 이를 만족하지만 함정 선택지들은 이만큼 깔끔하지 않다. 높이 $8$이 모든 벽에 들어가므로 $876$이 $900$보다 조금 작은 것은 중간 크기 방 세 개에 잘 맞는다.

대안 접근: 먼저 배수를 취해 세 침실을 한꺼번에 처리할 수도 있다. 한 침실의 칠하는 넓이는 $2(12\cdot8)+2(10\cdot8)-60=292$이고, 이 식 전체에 $3$을 곱하면 $3\times292=876$이다. 또는 높이를 먼저 묶어낼 수도 있다: 각 방의 벽 넓이는 $8\times(2\cdot12+2\cdot10)=8\times44=352$(둘레 곱하기 높이)이고, 여기서 $60$을 뺀 뒤 $3$을 곱한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.MD.A.3 실생활 및 수학 문제에서 직사각형의 넓이 공식을 적용하기 (각 벽의 넓이를 너비 곱하기 높이($12\times8$와 $10\times8$)로 구하고, 한 침실의 네 벽을 합해 $352$제곱피트를 얻는 데 사용.)
4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 수를 능숙하게 더하고 빼기 (문과 창문 $60$제곱피트를 빼는 데 사용: $352-60=292$.)
4.NBT.B.5 네 자리 이하의 수를 한 자리 수와 곱하기 (한 침실의 $292$제곱피트를 세 침실로 확장하는 데 사용: $292\times3=876$.)

⭐ 방을 네 개의 직사각형 벽으로 쪼개어 더하고, 뚫린 곳을 빼낸 다음, 똑같은 방의 개수만큼 곱한다.