AMC 10 · 2007 · #14

학년 6 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State

percentagelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentage

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

몇몇 남학생과 여학생이 중국으로 가는 학급 여행 경비를 마련하려고 세차를 하고 있다. 처음에는 그 무리의 $40\%$ 가 여학생이었다. 얼마 지나지 않아 여학생 두 명이 떠나고 남학생 두 명이 오자, 이제 무리의 $30\%$ 가 여학생이 되었다. 처음에 무리에 있던 여학생은 몇 명이었는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 남학생과 여학생으로 이루어진 무리가 처음에는 여학생이 $40\%$이다. 그 다음 여학생 두 명이 떠나고 남학생 두 명이 오는데, 이렇게 하면 전체 인원 수는 그대로이지만 비율은 여학생 $30\%$로 바뀐다. 처음에 여학생이 몇 명이었는지 구하여라.

주어진 것: 처음에 전체 무리의 $40\%$가 여학생이다; 여학생 두 명이 떠나고 동시에 남학생 두 명이 온다; 이 교체 후에는 무리의 $30\%$가 여학생이다; 선택지: (A) 4, (B) 6, (C) 8, (D) 10, (E) 12

구하는 것: 교체가 일어나기 전 무리에 있던 여학생의 수

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

핵심은 전체 인원 수가 결코 변하지 않는다는 점이므로, 그것이 이름을 붙이기에 가장 자연스러운 양이다. 전체 수에 변수를 도입한 뒤(도구 #4), 두 개의 백분율 사실을 교체 전과 후의 여학생 수를 나타내는 식으로 옮긴다(도구 #13). 둘씩 맞바꾸면 여학생은 $2$만큼 바뀌지만 전체는 그대로이므로, 깔끔한 방정식 하나가 튀어나와 한 줄로 풀린다. 도구 #3(가능성 지우기)은 결과를 다섯 선택지와 대조해 확인하는 용도로 남겨 둔다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

전체 수와 여학생 수에 이름 붙이기

처음 무리의 전체 인원 수를 $n$이라 하자.
그중 $40\%$가 여학생이므로, 처음 여학생 수는 $n$의 $40\%$, 즉 $0.4n$($\tfrac{2}{5}n$과 같다)이다.
여기서 전체 수에 이름을 붙이는 것이 똑똑한 이유는, 여학생 두 명과 남학생 두 명을 맞바꿔도 그 전체 수가 변하지 않기 때문이다.

$$\text{전체}=n,\qquad \text{여학생}=0.4n$$

💡 변하지 않고 그대로인 양에 이름을 붙이면, 나머지는 모두 그것을 기준으로 잴 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 6.RP.A.3 단계 2

교체 후의 사실을 식으로 옮기기

여학생 두 명이 떠나고 남학생 두 명이 온 뒤에도 전체는 여전히 $n$명이지만, 여학생 수는 $2$만큼 줄어 $0.4n-2$가 된다.
문제는 이제 이 여학생들이 무리의 $30\%$라고 하므로, 여학생 수는 $0.3n$과도 같다.
같은 여학생 수를 나타낸 두 식을 같다고 놓으면 방정식 하나가 나온다.

$$0.4n-2=0.3n$$

💡 같은 여학생 수를 두 가지로 쓴 것은 서로 같아야 하므로, 말이 방정식으로 바뀐다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 3

풀어서 여학생 수 읽어내기

양변에서 $0.3n$을 빼서 $n$ 항을 모으면 $0.1n-2=0$, 즉 $0.1n=2$이고 $n=20$이다.
무리에는 $20$명이 있었다.
처음 여학생 수는 $0.4n=0.4\times 20=8$이다.
따라서 처음에 여학생은 $8$명이었고, 이는 선택지 $\textbf{(C)}$이다.

$$0.1n=2\Rightarrow n=20,\qquad \text{여학생}=0.4\times 20=8$$

💡 변수를 한쪽으로 모으면 간단한 $px=q$ 꼴이 남아 전체 수를 바로 알려준다.

[1] #4 6.EE.B.6 처음 무리의 전체 인원 수를 $n$이라 하자. 그중 $40\%$가 여학생이므로, 처음 여학생 수는 $n$의 $40\%$, 즉 $0.4n$($\t

[2] #13 6.RP.A.3 여학생 두 명이 떠나고 남학생 두 명이 온 뒤에도 전체는 여전히 $n$명이지만, 여학생 수는 $2$만큼 줄어 $0.4n-2$가 된다. 문제는 이

[3] #13 6.EE.B.7 양변에서 $0.3n$을 빼서 $n$ 항을 모으면 $0.1n-2=0$, 즉 $0.1n=2$이고 $n=20$이다. 무리에는 $20$명이 있었다. 처

검토

합리성 확인: 전체 $20$명, 여학생 $8$명으로 이야기 전체를 확인해 보자. 처음에 $20$명 중 $8$명은 $\tfrac{8}{20}=40\%$ 여학생으로 첫 번째 사실과 맞는다. 여학생 두 명이 떠나고 남학생 두 명이 온 뒤에는 같은 $20$명 중 여학생이 $6$명이고, $\tfrac{6}{20}=30\%$로 두 번째 사실과 맞는다. 두 조건이 모두 성립하므로 여학생 $8$명이 옳다.

대안 접근: 백분율 값으로 따져 보자. 전체는 그대로이고, 여학생 $2$명이 줄면서 여학생 비율이 $40\%$에서 $30\%$로, 즉 $10$ 퍼센트포인트만큼 떨어진다. 그러므로 여학생 $2$명이 전체의 $10\%$에 해당하고, 이는 전체가 $20$임을 뜻한다. 그러면 $20$의 $40\%$는 여학생 $8$명이므로 (C)가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (고정된 전체 수 $n$에 이름을 붙이고 처음 여학생 수를 $0.4n$으로 나타내기.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (여학생 $30\%$ 사실을 식 $0.3n$으로 옮기고 $0.4n-2$와 같다고 놓기.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($0.1n=2$를 풀어 $n=20$을 얻고 처음 여학생 $8$명을 계산하기.)

⭐ 교체를 해도 전체 수가 그대로일 때는, 그 전체에 이름을 붙이고 여학생 수를 두 가지로 써서 서로 같다고 놓아라.