AMC 10 · 2007 · #14

학년 6 algebra
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State
percentagelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentage
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
남학생과 여학생으로 이루어진 무리가 처음에는 여학생이 40%이다. 그 다음 여학생 두 명이 떠나고 남학생 두 명이 오는데, 이렇게 하면 전체 인원 수는 그대로이지만 비율은 여학생 30%로 바뀐다. 처음에 여학생이 몇 명이었는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
6
(C)
8
(D)
10
(E)
12

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

핵심은 전체 인원 수가 결코 변하지 않는다는 점이므로, 그것이 이름을 붙이기에 가장 자연스러운 양이다. 전체 수에 변수를 도입한 뒤(도구 #4), 두 개의 백분율 사실을 교체 전과 후의 여학생 수를 나타내는 식으로 옮긴다(도구 #13). 둘씩 맞바꾸면 여학생은 2만큼 바뀌지만 전체는 그대로이므로, 깔끔한 방정식 하나가 튀어나와 한 줄로 풀린다. 도구 #3(가능성 지우기)은 결과를 다섯 선택지와 대조해 확인하는 용도로 남겨 둔다.

1STEP 1

전체 수와 여학생 수에 이름 붙이기

전체 인원 수를 n이라 하자. 교체해도 n은 그대로이고, 처음 여학생 수는 n의 40%, 즉 0.4n이다.

전체=n, 여학생=0.4n
2STEP 2

교체 후의 사실을 식으로 옮기기

교체 후에도 전체는 n명이지만 여학생은 0.4n-2로 줄고, 새 30% 조건은 이 수가 0.3n이라고 말한다.

0.4n-2=0.3n
3STEP 3

풀어서 여학생 수 읽어내기

n 항을 모으면 0.1n=2이므로 n=20이고, 처음 여학생 수는 0.4×20=8, 즉 선택지 (C)이다.

0.1n=2→ n=20, 여학생=0.4 × 20=8
정답
8
전체 20명, 여학생 8명으로 이야기 전체를 확인해 보자. 처음에 20명 중 8명은 8/20=40% 여학생으로 첫 번째 사실과 맞는다. 여학생 두 명이 떠나고 남학생 두 명이 온 뒤에는 같은 20명 중 여학생이 6명이고, 6/20=30%로 두 번째 사실과 맞는다. 두 조건이 모두 성립하므로 여학생 8명이 옳다.
💡핵심 정리

교체를 해도 전체 수가 그대로일 때는, 그 전체에 이름을 붙이고 여학생 수를 두 가지로 써서 서로 같다고 놓아라.

  • 전체 수와 여학생 수에 이름 붙이기
  • 교체 후의 사실을 식으로 옮기기
  • 풀어서 여학생 수 읽어내기

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