AMC 10 · 2010 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State

linear-equations-one-varratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

타이론은 구슬 97개, 에릭은 11개로 시작한다. 타이론이 자기 구슬 일부를 에릭에게 건네서, 결국 타이론의 구슬이 에릭의 정확히 두 배가 되도록 만든다. 타이론이 건넨 구슬이 몇 개인지 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 3$

(B)

$\ 13$

(C)

$\ 18$

(D)

$\ 25$

(E)

$\ 29$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

복잡한 주고받기를 따라가는 대신, 마지막 순간의 전체 개수에 주목한다. 구슬은 두 사람이 나눠 가질 뿐이라 전체 더미의 크기는 처음부터 끝까지 그대로다. 에릭의 최종 개수를 변수로 두면 '두 배'라는 조건이 짧은 식 하나로 바뀌고, 최종 개수를 알고 나면 뺄셈 한 번으로 실제로 옮겨간 구슬 수를 되찾는다.

1STEP 1

변하지 않는 전체 개수 찾기

구슬은 두 사람 사이를 옮겨 갈 뿐이라 두 더미의 합은 항상 같다: 97+11=108.

97+11=108

2STEP 2

최종 개수에 이름 붙이기

에릭의 최종 개수를 E라 하면 타이론은 그 두 배인 2E이고, 합은 여전히 108이므로 2E+E=108이다.

2E+E=108

3STEP 3

최종 개수 구하기

동류항을 합치면 3E=108이고 3으로 나누면 에릭은 E=36, 타이론은 2E=72개다.

3E=108→ E=36, 2E=72

4STEP 4

진짜 질문에 답하기

묻는 것은 건넨 수다. 에릭은 36-11=25개 늘고 타이론도 97-72=25개 줄었으니 보기 (D)이다.

36-11=25

정답

최종 개수 72와 36은 72=2·36으로 규칙에 정확히 맞고, 합도 여전히 108이다. 건넨 25개는 타이론의 처음 97개의 절반도 안 되는데, 이는 타이론이 에릭의 두 배로 내려갈 만큼만 주면 되지 대부분을 넘겨줄 필요는 없기 때문에 자연스럽다. 보기 중 끝의 나눔이 맞아떨어지는 것은 (D)뿐이다.

💡핵심 정리

서로 주고받기만 할 때는 전체 개수가 그대로이니, 그 전체를 똑같은 몫으로 나누면 답이 보인다.

변하지 않는 전체 개수 찾기
최종 개수에 이름 붙이기
최종 개수 구하기
진짜 질문에 답하기

변하지 않는 전체 개수 찾기

최종 개수에 이름 붙이기

최종 개수 구하기

진짜 질문에 답하기

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