AMC 10 · 2010 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State

linear-equations-one-varratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

타이론은 구슬 $97$ 개를 가지고 있었고, 에릭은 구슬 $11$ 개를 가지고 있었다. 그 후 타이론이 자신의 구슬 중 일부를 에릭에게 주어서, 타이론에게 남은 구슬이 에릭이 가진 구슬의 두 배가 되었다. 타이론이 에릭에게 준 구슬은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 3$

(B)

$\ 13$

(C)

$\ 18$

(D)

$\ 25$

(E)

$\ 29$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 타이론은 구슬 97개, 에릭은 11개로 시작한다. 타이론이 자기 구슬 일부를 에릭에게 건네서, 결국 타이론의 구슬이 에릭의 정확히 두 배가 되도록 만든다. 타이론이 건넨 구슬이 몇 개인지 구한다.

주어진 것: 타이론은 구슬 97개로 시작한다.; 에릭은 구슬 11개로 시작한다.; 건넨 뒤, 타이론의 구슬은 에릭의 두 배가 된다.

구하는 것: 타이론이 에릭에게 건넨 구슬의 개수.

이해

주어진 것: 타이론은 구슬 97개로 시작한다.; 에릭은 구슬 11개로 시작한다.; 건넨 뒤, 타이론의 구슬은 에릭의 두 배가 된다.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #11 거꾸로 풀기

복잡한 주고받기를 따라가는 대신, 마지막 순간의 전체 개수에 주목한다. 구슬은 두 사람이 나눠 가질 뿐이라 전체 더미의 크기는 처음부터 끝까지 그대로다. 에릭의 최종 개수를 변수로 두면 '두 배'라는 조건이 짧은 식 하나로 바뀌고, 최종 개수를 알고 나면 뺄셈 한 번으로 실제로 옮겨간 구슬 수를 되찾는다.

실행 — 정답: D

#16 관점 바꾸기 4.NBT.B.4 단계 1

변하지 않는 전체 개수 찾기

한 사람에서 다른 사람으로 구슬을 건네도 구슬이 새로 생기거나 사라지지 않으므로, 두 더미의 합은 항상 같은 수다.
처음 개수를 더한다: $97+11=108$.
어느 순간에나 구슬은 108개다.

$$97+11=108$$

💡 구슬을 이리저리 옮겨도 전체 개수는 변하지 않는다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

최종 개수에 이름 붙이기

에릭이 최종적으로 가진 구슬 개수를 $E$라 하자.
타이론은 그 두 배이므로 $2E$개를 가진다.
둘이 합쳐 여전히 108개를 가지므로 식 $2E+E=108$을 얻는다.

$$2E+E=108$$

💡 '두 배'는 에릭이 한 몫, 타이론이 똑같은 두 몫을 가진다는 뜻이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 3

최종 개수 구하기

동류항을 합친다: $2E+E=3E$이므로 $3E=108$.
양변을 3으로 나누면 $E=36$.
에릭은 36개로 끝나고 타이론은 $2\cdot36=72$개로 끝난다.

$$3E=108\Rightarrow E=36,\quad 2E=72$$

💡 똑같은 세 몫이 108을 이루니, 한 몫은 108의 3분의 1이다.

#11 거꾸로 풀기 4.NBT.B.4 단계 4

진짜 질문에 답하기

문제는 최종 개수가 아니라 건넨 구슬 수를 묻는다.
에릭은 11개에서 36개로 늘었으므로 $36-11=25$개를 받았다.
타이론도 확인하면 97개에서 72개로 줄어 역시 25개 차이다.
따라서 타이론이 건넨 구슬은 25개, 보기 (D)이다.

$$36-11=25$$

💡 무엇을 건넸는지 알려면 각자의 처음과 끝을 비교한다.

[1] #16 4.NBT.B.4 한 사람에서 다른 사람으로 구슬을 건네도 구슬이 새로 생기거나 사라지지 않으므로, 두 더미의 합은 항상 같은 수다. 처음 개수를 더한다: $97

[2] #4 6.EE.B.6 에릭이 최종적으로 가진 구슬 개수를 $E$라 하자. 타이론은 그 두 배이므로 $2E$개를 가진다. 둘이 합쳐 여전히 108개를 가지므로 식 $2

[3] #4 6.EE.B.7 동류항을 합친다: $2E+E=3E$이므로 $3E=108$. 양변을 3으로 나누면 $E=36$. 에릭은 36개로 끝나고 타이론은 $2\cdot36

[4] #11 4.NBT.B.4 문제는 최종 개수가 아니라 건넨 구슬 수를 묻는다. 에릭은 11개에서 36개로 늘었으므로 $36-11=25$개를 받았다. 타이론도 확인하면 97

검토

합리성 확인: 최종 개수 72와 36은 $72=2\cdot36$으로 규칙에 정확히 맞고, 합도 여전히 108이다. 건넨 25개는 타이론의 처음 97개의 절반도 안 되는데, 이는 타이론이 에릭의 두 배로 내려갈 만큼만 주면 되지 대부분을 넘겨줄 필요는 없기 때문에 자연스럽다. 보기 중 끝의 나눔이 맞아떨어지는 것은 (D)뿐이다.

대안 접근: 옮겨간 양을 직접 추적할 수도 있다. 건넨 구슬을 $x$라 하고 $97-x=2(11+x)$로 쓴다. 전개하면 $97-x=22+2x$, 따라서 $75=3x$이고 $x=25$로 (D)와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.4 여러 자리 자연수를 능숙하게 더하고 빼기 (97과 11을 더해 전체 108을 구하고, 36에서 11을 빼서 건넨 구슬 수를 구함.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 문제 해결을 위한 식 세우기 (에릭의 최종 개수를 $E$로 두고 타이론의 개수를 $2E$로 나타냄.)
6.EE.B.7 px = q 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결하기 ($3E=108$을 풀어 $E=36$을 구함.)

⭐ 서로 주고받기만 할 때는 전체 개수가 그대로이니, 그 전체를 똑같은 몫으로 나누면 답이 보인다.