경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2007 · #20
학년 6 algebra답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제가 이미 다섯 개의 후보 총합을 주고 있으니 도구 #6(추측하고 확인하기)이 가장 직접적인 길입니다 — 대수를 세우는 것보다 훨씬 간단해요. 각 선택지마다 "지구 대회 전 경기 수 = 선택지 - 8" 을 알 수 있고, 그것의 45% 가 자연수인지, 그리고 6 승을 더하면 시즌 총 경기 수의 절반이 되는지만 확인하면 됩니다. 도구 #3(가능성 제거하기)은 이 검사를 더 날카롭게 만듭니다: 45% = 9/20 이므로 지구 대회 전 경기 수는 20의 배수여야 하고, 그 조건만으로 거의 모든 선택지가 즉시 탈락합니다.
승리 조건 식으로 옮기기
시즌 총합을 T 라 하면, 지구 대회 전 경기 = T - 8, 그 45% 가 승리 수, T 의 절반 = 승리 수 + 6.
모든 양을 T 의 식으로 써 두면, 각 추측이 한 줄 계산으로 검증됩니다.
6.RP.A.3Guess And Check후보 좁히기
45% = 이므로 T - 8이 20의 배수일 때만 승리 수가 자연수입니다. 선택지 중 T - 8 = 40 만 해당됩니다.
승리 수는 자연수여야 하고, 45% 라는 조건이 20의 배수를 강제합니다 — 나머지 선택지는 더 깊이 따져보기 전에 이미 탈락.
지구 대회 이전에 치른 경기 수는 20의 배수여야 한다. 그래야만 정확히 45%를 이길 수 있기 때문이다.
▸ 왜?
경기의 45%를 이겼다는 것은 이긴 경기 수가 지구 대회 이전 경기 수의 9/20과 같다는 뜻이다.
▸ 왜?
45%는 100당 45이고, 이는 20당 9와 같은 비율을 가리킨다.
▸ 왜?
20당 9와 100당 45가 같은 이유는, 9와 20을 똑같이 5배 하는 것이 분수에 5/5, 곧 1을 곱하는 것이기 때문이다.
▸ 왜?
경기 수의 9/20이 이긴 경기 수라는 정확한 정수로 떨어지려면, 치른 경기 수가 20의 배수여야 한다.
▸ 왜?
이긴 경기 하나하나가 이긴 한 경기와 정확히 짝을 이루므로, 승수는 온전한 개수로 세어지며 결코 경기의 일부가 될 수 없다.
▸ 왜?
9와 20은 공통 소인수가 없으므로 분자의 9는 분모의 20 중 어느 것도 약분하지 못한다. 따라서 어떤 수의 9/20이 정수가 되려면 그 20 전체가 그 수를 나누어야 한다.
▸ 왜?
9는 소수로 3 × 3, 20은 2 × 2 × 5로 갈라지는데 이 두 소인수 목록은 겹치는 것이 전혀 없으므로, 20의 소인수는 모두 경기 수 자체에서 나와야 한다.
남은 값 검증하기
T = 48 확인: 지구 대회 전 = 40, 승리 = 0.45 × 40 = 18, 그래서 18 + 6 = 48 중 24 — 정확히 50%.
승리 수가 40 경기 중 18 에서 48 경기 중 24로 — 추가된 8 경기에서 6 승이 만들어낸 깔끔한 45% → 50% 상승.
6.RP.A.3Guess And Check다른 선택지 배제하기
나머지는 자연수가 아님: 0.45 × 42, 44, 46, 52 = 18.9, 19.8, 20.7, 23.4. (A)만 남습니다.
승리 수는 셀 수 있는 양이므로, 소수로 나오면 실제 시즌 기록이 될 수 없습니다. 답: (A) 48.
6.RP.A.3Eliminate Possibilities45% = 이므로 지구 대회 전 경기 수는 20의 배수여야 합니다 — 그 한 가지 사실이 다섯 선택지를 단 하나로 좁힙니다. 유니콘 팀은 시즌 전체에서 48 경기를 치렀습니다.
- 승리 조건 식으로 옮기기
- 후보 좁히기
- 남은 값 검증하기
- 다른 선택지 배제하기
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