경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2020 · #13

학년 6 probabilityalgebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State

probability-basiclinear-equations-one-varfraction-arithmeticpercentage convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

자말의 서랍에는 처음에 초록 양말 6 짝, 보라 양말 18 짝, 주황 양말 12 짝이 들어 있습니다. 자말은 보라 양말만 몇 짝 더 넣었고(다른 색은 그대로), 그 결과 서랍에서 양말 한 짝을 무작위로 꺼냈을 때 보라일 확률이 60% 가 되었습니다. 자말이 새로 넣은 보라 양말은 몇 짝일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

객관식이고 후보가 5 개뿐이라 도구함의 "AMC 객관식 최강 콤보" 가 그대로 맞습니다 — 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 선택지를 (18+x)/(36+x)에 대입해 3/5와 같은지 보고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 아닌 후보를 지워 가면 한 줄로 답이 나옵니다. 더 영리한 확인용으로 도구 #15(다르게 정리하기)도 끼워 둡니다 — 보라가 아닌 양말 (6+12=18)은 절대 변하지 않는다는 데 주목하면, 보라 : 보라 아닌 것 = 3 : 2 만으로 보라 = 27이 강제되어 방정식 없이도 답이 떨어집니다.

1STEP 1

양말 세고 퍼센트 바꾸기

처음 양말을 세면 6 + 18 + 12 = 36 짝이고, 60% 는 분수 $\frac{3}{5}$ 로 바꿉니다.

6 + 18 + 12 = 36 짝, 60% = 60/100 = 3/5

2STEP 2

분수 방정식 세우기

보라 x 짝을 넣으면 맞춰야 할 비는 $\frac{18+x}{36+x}$ = $\frac{3}{5}$ 입니다.

(18+x)/(36+x) = 3/5

방정식을 "푸는" 것이 아니라 후보를 대입해 볼 식을 적어 두는 단계 — 6학년 비 표현 그대로입니다.

Jamal이 보라색 양말 x개를 추가한 뒤, 무작위로 뽑은 양말이 보라색일 확률이 60%라는 말은 곧 방정식 (18+x)/(36+x) = 3/5와 정확히 같다.

▸ 왜?

좌변은 보라색을 뽑을 확률을 적은 것이다: 이제 서랍에는 전체 36+x개 중 보라색이 18+x개 있고, 보라색일 확률은 그 보라색 개수를 전체 개수로 나눈 것이다.

▸ 왜?

서랍 속 모든 양말이 뽑힐 가능성이 똑같으므로, 보라색일 확률은 보라색 양말의 수를 전체 양말의 수로 나눈 것이다.

동등한 확률모든 결과가 동등하게 일어난다면, 사건의 확률은 유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 것이다.

▸ 왜?

추가한 뒤 보라색 개수는 18 + x이다 — 이미 있던 보라색 18개에 새로 넣은 x개를 합친 것이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

추가한 뒤 전체 개수는 36 + x이다. 보라색 양말만 원래의 36개에 더해졌고 다른 색은 그대로 두었기 때문이다.

▸ 왜?

초록색은 6개, 주황색은 12개 그대로다. 그 색 양말은 하나도 넣지 않았고, 아무것도 더하지 않으면 개수는 변하지 않기 때문이다.

덧셈의 항등원 (0)0을 더하면 아무것도 안 더한 것이라 수가 그대로 남는다.

▸ 왜?

서랍 전체는 모든 색 무더기를 빠짐없이 겹치지 않게 합친 것이라, 보라색 x개가 더해지면 36에서 36 + x로 늘어난다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

우변은 주어진 60%를 그것이 뜻하는 순수한 분수, 즉 3/5로 다시 쓴 것이다.

▸ 왜?

60%는 100 중 60을 뜻하므로 분수 60/100이다.

퍼센트는 100분의 목p%는 100 중 p를 뜻하므로, 어떤 양의 p%는 그 양의 (p/100)배이다.

▸ 왜?

60/100과 3/5는 같은 값이다. 분자와 분모를 똑같이 20으로 나누어도 분수의 값은 변하지 않기 때문이다.

동치분수분수의 분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 값은 변하지 않는다.

6.RP.A.3Guess And Check

3STEP 3

선택지 하나씩 넣어 보기

각 선택지를 $\frac{18+x}{36+x}$ 에 대입하면 x=9만 $\frac{27}{45}$ = $\frac{3}{5}$ 이 되어 나머지는 지워집니다.

27/45 = (27 ÷ 9)/(45 ÷ 9) = 3/5 ✓ → (B)

4STEP 4

다른 방법으로 확인하기

확인: 보라 아닌 것 (6+12=18)은 불변이라 보라 : 보라 아닌 것 = 3 : 2, 보라 = 27, x = 27-18 = 9.

보라 아닌 것 = 6 + 12 = 18, 보라 = 3/2 × 18 = 27, x = 27 - 18 = 9

정답

x = 9를 다시 대입해 보면 보라는 18 + 9 = 27, 전체는 36 + 9 = 45가 되어 확률은

\frac{27}{45}

\frac{3}{5}

= 60% — 문제에서 요구한 값과 정확히 일치합니다. 크기로 봐도 자연스럽습니다. 처음 보라 비율은

\frac{18}{36}

= 50% 였고 이를 60% 까지만 끌어올리면 되니, 원래 보라 수(18)의 절반 정도인 9 짝만 추가하면 충분하다는 것이 직관적으로 맞습니다. (D) 18 이나 (E) 24 처럼 큰 수를 넣으면 보라 비율이 60% 를 한참 넘게 됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "60% 를 비 3 : 5로 바꾸기" 만 알면 풀 수 있어요!

양말 세고 퍼센트 바꾸기
분수 방정식 세우기
선택지 하나씩 넣어 보기
다른 방법으로 확인하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

양말 세고 퍼센트 바꾸기

분수 방정식 세우기

선택지 하나씩 넣어 보기

다른 방법으로 확인하기

비슷한 유형 더 풀어보기