AMC 10 · 2007 · #16

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

weighted-averagepercentagemean-median-mode-range easier-related-problem ↑ 선수 지식: weighted-average

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 교사가 학급에 시험을 냈는데, 그 학급 학생의 $10\%$ 는 3학년(junior)이고 $90\%$ 는 4학년(senior)이다. 시험의 평균 점수는 $84$ 점이었다. 3학년 학생들은 모두 같은 점수를 받았고, 4학년 학생들의 평균 점수는 $83$ 점이었다. 각 3학년 학생은 시험에서 몇 점을 받았는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어느 학급에서 학생의 $10\%$는 3학년(주니어), $90\%$는 4학년(시니어)이다. 학급 전체의 시험 평균은 $84$였다. 주니어는 모두 똑같은 점수를 받았고, 시니어의 평균은 $83$이었다. 각 주니어가 받은 점수를 구하시오.

주어진 것: 주니어는 학급의 $10\%$, 시니어는 $90\%$이다; 학급 평균은 $84$이다; 시니어 평균은 $83$이다; 모든 주니어의 점수가 동일하다; 선택지: (A) 85, (B) 88, (C) 93, (D) 94, (E) 98

구하는 것: 각 주니어가 받은 하나의 점수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #11 거꾸로 풀기

실제 인원 없이 백분율만 있으면 추상적으로 느껴지므로, 학급을 다루기 편한 구체적인 인원으로 바꾼다(도구 #9). 학생을 $10$명으로 잡으면 $10\%$와 $90\%$가 깔끔하게 주니어 $1$명과 시니어 $9$명이 된다. 평균은 총합을 인원수로 나눈 것이므로, 각 평균을 총점으로 되돌린다(도구 #7). 학급 총점에서 시니어 총점을 빼면 그것이 바로 그 한 명의 주니어 점수이며, 거꾸로 풀어 구한다(도구 #11).

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 1

다루기 편한 학급 인원 정하기

학생 수가 정해져 있지 않으므로 백분율이 딱 떨어지는 인원을 고른다.
$10$명이면 $10\%$는 주니어 $1$명, $90\%$는 시니어 $9$명이다.
$10$의 배수는 무엇이든 같은 답을 주므로 가장 작은 값을 택한다.

$$10\% \times 10 = 1\text{명(주니어)},\qquad 90\% \times 10 = 9\text{명(시니어)}$$

💡 막연한 백분율을 실제 인원 $10$명으로 바꾸면 모든 양을 그냥 더할 수 있게 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 2

평균을 총점으로 되돌리기

평균은 모든 점수의 총합을 인원수로 나눈 것이므로, 총합 $=$ 평균 $\times$ 인원이다.
$10$명 전체가 평균 $84$였으므로 총점은 $84 \times 10 = 840$점이다.
시니어 $9$명이 평균 $83$이었으므로 시니어 총점은 $83 \times 9 = 747$점이다.

$$\text{학급 총점}=84\times 10=840,\qquad \text{시니어 총점}=83\times 9=747$$

💡 각 평균을 원래의 총점으로 되돌리면 여러 무리의 점수를 보통 수처럼 더하고 뺄 수 있다.

#11 거꾸로 풀기 4.NBT.B.4 단계 3

시니어를 덜어내 주니어 점수 찾기

학급 총점 $840$점은 시니어와 주니어 한 명이 나눠 가진다.
시니어가 $747$점을 차지하므로 남은 것은 주니어의 몫이다: $840 - 747 = 93$.
주니어가 한 명뿐이므로 이 나머지가 바로 각 주니어가 받은 점수이다.
이는 선택지 $\textbf{(C)}$이다.

$$\text{주니어 점수}=840-747=93$$

💡 학급 총점은 시니어 점수와 주니어 점수의 합이므로, 시니어를 빼면 주니어 점수만 남는다.

[1] #9 6.RP.A.3 학생 수가 정해져 있지 않으므로 백분율이 딱 떨어지는 인원을 고른다. $10$명이면 $10\%$는 주니어 $1$명, $90\%$는 시니어 $9$

[2] #7 6.SP.B.5 평균은 모든 점수의 총합을 인원수로 나눈 것이므로, 총합 $=$ 평균 $\times$ 인원이다. $10$명 전체가 평균 $84$였으므로 총점은

[3] #11 4.NBT.B.4 학급 총점 $840$점은 시니어와 주니어 한 명이 나눠 가진다. 시니어가 $747$점을 차지하므로 남은 것은 주니어의 몫이다: $840 - 74

검토

합리성 확인: 가중평균으로 확인한다: $93$의 $10\%$에 $83$의 $90\%$를 더하면 $0.1\times 93 + 0.9\times 83 = 9.3 + 74.7 = 84$로 학급 평균과 정확히 같으므로 $93$은 모순이 없다. 또한 주니어 점수($93$)가 학급 평균($84$)보다 높고 시니어는 그 바로 아래($83$)에 있는 것도 자연스럽다. 주니어는 학급의 $10$분의 $1$뿐이라 그 높은 점수가 학급 평균을 겨우 $1$점 올릴 뿐이며, 그래서 답이 $84$를 아주 조금 넘는 값이 아니라 훨씬 위에 있게 된다.

대안 접근: 인원 계산을 건너뛰고 가중평균 방정식을 바로 세운다. 주니어 점수를 $J$라 하면 학급 평균은 $0.10J + 0.90(83) = 84$이다. 그러면 $0.10J = 84 - 74.7 = 9.3$이므로 $J = 93$이 되어 선택지 (C)와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($10$명 학급의 $10\%$와 $90\%$를 주니어 $1$명, 시니어 $9$명으로 바꾸기.)
6.SP.B.5 Summarize numerical data sets by reporting number of observations and measures (평균 $\times$ 인원 $=$ 총점을 이용해 학급 $840$점과 시니어 $747$점 구하기.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers ($840-747=93$을 빼서 주니어 점수 복원하기.)

⭐ 백분율을 실제 인원으로 바꾸고, 각 평균을 총점으로 되돌린 뒤, 아는 무리를 빼내면 구하려는 값이 드러난다.