AMC 10 · 2007 · #16

학년 6 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation
weighted-averagepercentagemean-median-mode-range easier-related-problem ↑ 선수 지식: weighted-average
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어느 학급에서 학생의 10%는 3학년(주니어), 90%는 4학년(시니어)이다. 학급 전체의 시험 평균은 84였다. 주니어는 모두 똑같은 점수를 받았고, 시니어의 평균은 83이었다. 각 주니어가 받은 점수를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
85
(B)
88
(C)
93
(D)
94
(E)
98

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

실제 인원 없이 백분율만 있으면 추상적으로 느껴지므로, 학급을 다루기 편한 구체적인 인원으로 바꾼다(도구 #9). 학생을 10명으로 잡으면 10%와 90%가 깔끔하게 주니어 1명과 시니어 9명이 된다. 평균은 총합을 인원수로 나눈 것이므로, 각 평균을 총점으로 되돌린다(도구 #7). 학급 총점에서 시니어 총점을 빼면 그것이 바로 그 한 명의 주니어 점수이며, 거꾸로 풀어 구한다(도구 #11).

1STEP 1

다루기 편한 학급 인원 정하기

인원이 정해져 있지 않으니 10명으로 잡으면 10%는 주니어 1명, 90%는 시니어 9명이다.

10% × 10 = 1명(주니어), 90% × 10 = 9명(시니어)
2STEP 2

평균을 총점으로 되돌리기

평균 × 인원 = 총점이므로 학급은 84 × 10 = 840점, 시니어 9명은 83 × 9 = 747점이다.

학급 총점=84 × 10=840, 시니어 총점=83 × 9=747
3STEP 3

시니어를 덜어내 주니어 점수 찾기

학급 총점 840점에서 시니어 747점을 덜어내면 주니어 한 명의 점수 93이 남는다. 선택지 (C)이다.

주니어 점수=840-747=93
정답
93
가중평균으로 확인한다: 93의 10%에 83의 90%를 더하면 0.1 × 93 + 0.9 × 83 = 9.3 + 74.7 = 84로 학급 평균과 정확히 같으므로 93은 모순이 없다. 또한 주니어 점수(93)가 학급 평균(84)보다 높고 시니어는 그 바로 아래(83)에 있는 것도 자연스럽다. 주니어는 학급의 10분의 1뿐이라 그 높은 점수가 학급 평균을 겨우 1점 올릴 뿐이며, 그래서 답이 84를 아주 조금 넘는 값이 아니라 훨씬 위에 있게 된다.
💡핵심 정리

백분율을 실제 인원으로 바꾸고, 각 평균을 총점으로 되돌린 뒤, 아는 무리를 빼내면 구하려는 값이 드러난다.

  • 다루기 편한 학급 인원 정하기
  • 평균을 총점으로 되돌리기
  • 시니어를 덜어내 주니어 점수 찾기

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