AMC 10 · 2007 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Unit Conversion Chain

rateunit-conversiondimensional-analysis dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 대학생이 주말을 보내러 집까지 $120$ 마일을 소형차로 운전했고 갤런당 평균 $30$ 마일을 달렸다. 돌아오는 길에는 부모님의 SUV를 운전했는데 갤런당 평균 $20$ 마일밖에 달리지 못했다. 왕복 여행 전체의 평균 연비는 갤런당 몇 마일인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 학생이 $30$ 마일 퍼 갤런의 연비로 집까지 $120$ 마일을 운전한 뒤, $20$ 마일 퍼 갤런의 연비로 다시 $120$ 마일을 돌아온다. 왕복 전체의 평균 연비를 마일 퍼 갤런 단위로 구하여라.

주어진 것: 편도 거리는 $120$ 마일이므로, 왕복은 같은 $120$ 마일을 두 번 이동한다; 집으로 가는 길의 평균 연비는 $30$ 마일 퍼 갤런이다; 돌아오는 길의 평균 연비는 $20$ 마일 퍼 갤런이다; 보기: (A) $22$, (B) $24$, (C) $25$, (D) $26$, (E) $28$

구하는 것: 왕복 전체의 평균 연비(마일 퍼 갤런)

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

마일 퍼 갤런은 마일을 갤런으로 나눈 비율이므로, 도구 #8(단위 살펴보기)을 쓰면 전체 연비가 $30$과 $20$의 평균이 아니라 전체 마일을 전체 갤런으로 나눈 값이어야 함을 알 수 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 각 구간이 사용하는 연료를 먼저 구한 뒤 합치도록 작업을 나눈다. 도구 #3(가능성 지우기)은 함정 보기를 짚어낸다. 두 연비를 단순 평균하면 $(30+20)/2=25$, 즉 보기 (C)가 나오지만 이는 틀린 답이다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

집으로 가는 길에 쓴 연료

집으로 가는 길에는 $30$ 마일 퍼 갤런의 연비로 $120$ 마일을 이동한다.
사용한 갤런은 마일을 마일 퍼 갤런으로 나눈 값이므로 $120\div30=4$ 갤런이다.

$$\dfrac{120\text{ mi}}{30\text{ mi/gal}} = 4\text{ gal}$$

💡 마일을 연비로 나누면 마일이 약분되고 갤런만 남는다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 2

돌아오는 길에 쓴 연료

돌아오는 길에는 같은 $120$ 마일을 이동하지만 연비가 $20$ 마일 퍼 갤런뿐이다.
사용한 갤런은 $120\div20=6$ 갤런으로, 연비가 나빠 같은 거리에 더 많은 연료를 쓴다.

$$\dfrac{120\text{ mi}}{20\text{ mi/gal}} = 6\text{ gal}$$

💡 연비가 나쁘면 같은 거리라도 더 많은 갤런을 소모한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

전체 마일과 전체 갤런

두 구간을 더한다.
전체 거리는 $120+120=240$ 마일이다.
전체 연료는 $4+6=10$ 갤런이다.
왕복 연비는 이 두 총합을 비교한 값이다.

$$240\text{ mi total},\quad 4+6=10\text{ gal total}$$

💡 전체 여정은 두 구간을 마일에서도 갤런에서도 이어 붙인 것일 뿐이다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

왕복의 평균 연비

평균 연비는 전체 마일을 전체 갤런으로 나눈 값이다.
$240\div10=24$ 마일 퍼 갤런이며, 이는 보기 (B)이다.
이 값은 $(30+20)/2=25$가 아님에 주의하자.
돌아오는 구간이 더 많은 연료를 쓰므로 전체 연비를 중간값 아래로 끌어내려 함정 보기 (C)를 배제한다.

$$\dfrac{240\text{ mi}}{10\text{ gal}} = 24\text{ mi/gal}\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 전체 연비는 모든 마일을 모든 갤런에 나눠 붙인 것이고, 연료를 더 먹는 구간이 더 큰 비중을 차지한다.

[1] #8 6.RP.A.3 집으로 가는 길에는 $30$ 마일 퍼 갤런의 연비로 $120$ 마일을 이동한다. 사용한 갤런은 마일을 마일 퍼 갤런으로 나눈 값이므로 $120\

[2] #8 6.RP.A.3 돌아오는 길에는 같은 $120$ 마일을 이동하지만 연비가 $20$ 마일 퍼 갤런뿐이다. 사용한 갤런은 $120\div20=6$ 갤런으로, 연비가

[3] #7 4.OA.A.3 두 구간을 더한다. 전체 거리는 $120+120=240$ 마일이다. 전체 연료는 $4+6=10$ 갤런이다. 왕복 연비는 이 두 총합을 비교한 값

[4] #8 6.RP.A.3 평균 연비는 전체 마일을 전체 갤런으로 나눈 값이다. $240\div10=24$ 마일 퍼 갤런이며, 이는 보기 (B)이다. 이 값은 $(30+2

검토

합리성 확인: 답 $24$는 두 연비 $20$과 $30$ 사이에 있어야 하며 실제로 그러하다. 또한 단순 중간값 $25$보다 아래에 있다. 이는 정확히 맞는데, 연비가 낮은 돌아오는 구간이 더 많은 연료($4$ 대신 $6$ 갤런)를 써서 더 큰 비중을 차지하고 평균을 $20$ 쪽으로 끌어당기기 때문이다. 총합을 다시 확인하면 $4\text{ gal}+6\text{ gal}=10\text{ gal}$로 차가 $240$ 마일을 이동했고, $240/10=24$이다.

대안 접근: 두 구간의 거리가 같으므로 왕복 연비는 $30$과 $20$의 조화평균이다. $\dfrac{2}{\frac{1}{30}+\frac{1}{20}} = \dfrac{2}{\frac{2}{60}+\frac{3}{60}} = \dfrac{2}{\frac{5}{60}} = \dfrac{120}{5} = 24$로, 특정 거리를 정하지 않고도 곧바로 (B)를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (마일 퍼 갤런을 비율로 다루기: 각 구간에서 마일을 연비로 나눠 갤런을 구하고, 전체 마일을 전체 갤런으로 나눠 왕복 연비를 구한다.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (마지막 나눗셈 전에 두 구간을 더해 전체 $240$ 마일과 전체 $10$ 갤런을 구한다.)

⭐ 평균 연비는 두 속도의 평균이 아니라 모든 마일을 모든 갤런으로 나눈 값이다. 그래서 연료를 많이 먹는 구간이 평균을 끌어내린다.