AMC 10 · 2008 · #11

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

rateunit-conversionoptimization dimensional-analysisextremal-construction ↑ 선수 지식: rate

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

스티브와 르로이가 해안에서 1마일 떨어진 곳에서 낚시를 하던 중 보트에 구멍이 나서, 물이 분당 10갤런의 일정한 속도로 들어온다. 보트에 물이 30갤런을 넘게 들어오면 보트는 가라앉는다. 스티브가 시속 4마일의 일정한 속도로 해안을 향해 노를 젓기 시작하고, 그동안 르로이는 보트에서 물을 퍼낸다. 보트가 가라앉지 않고 해안에 도달하려면, 르로이가 물을 퍼내는 가장 느린 속도는 분당 몇 갤런인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2$

(B)

$\ 4$

(C)

$\ 6$

(D)

$\ 8$

(E)

$\ 10$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 배가 해안에서 $1$ 마일 떨어져 있습니다. 물이 $1$분에 $10$갤런씩 새어 들어오고, 배에 들어온 물이 $30$갤런을 넘으면 배가 가라앉습니다. 스티브는 시속 $4$마일로 해안을 향해 노를 젓고, 그동안 르로이는 물을 퍼냅니다. 배가 가라앉지 않고 해안에 닿으려면 르로이가 물을 퍼내는 가장 느린 일정한 속도는 분당 몇 갤런인지 구하세요.

주어진 것: 해안까지의 거리는 $1$ 마일; 물은 $1$분에 $10$갤런씩 들어옴; 배에 들어온 물이 $30$갤런을 넘으면 가라앉음; 해안을 향한 노 젓는 속도는 시속 $4$마일; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $10$ 갤런/분

구하는 것: 배를 가라앉지 않게 하는, 분당 갤런으로 나타낸 가장 느린 물 퍼내기 속도

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #14 극단의 원리, #4 변수 도입하기

숫자들이 마일, 시속 마일, 갤런, 분당 갤런처럼 서로 다른 단위로 주어져 있습니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 먼저 단위를 맞추라고 말합니다. 여행을 몇 분짜리로 바꾸면 모든 것을 분당 갤런으로 잴 수 있습니다. 문제가 가장 느린 안전 속도를 묻고 있으므로, 도구 #14(극단의 원리)는 물이 딱 $30$갤런 한계까지 쌓이고 한 방울도 넘지 않는 경계 상황을 가리킵니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 퍼내는 속도에 이름을 붙이면 들어오는 물과 나가는 물의 균형이 하나의 깔끔한 부등식이 됩니다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

여행 시간 구하기

시간은 거리를 속도로 나눈 값입니다.
시속 $4$마일로 $1$마일을 가면 $\tfrac{1}{4}$시간이 걸립니다.
물이 새는 속도와 비교하려면 이를 분으로 바꿉니다: $\tfrac{1}{4}\times 60 = 15$분.

$$t = \dfrac{1\ \text{mi}}{4\ \text{mi/hr}} = \tfrac{1}{4}\ \text{hr} = 15\ \text{min}$$

💡 시속 $4$마일로 $1$마일을 가면 한 시간의 $\tfrac{1}{4}$이 걸리고, $60$분의 $\tfrac{1}{4}$은 $15$분입니다.

#14 극단의 원리 6.RP.A.3 단계 2

안전한 최대 순증가 속도 정하기

배는 물을 최대 $30$갤런까지만 더 담을 수 있고, $15$분 내내 버텨야 합니다.
이 한계를 여행 전체에 고르게 나누면, 배 안의 물은 순증가로 $1$분에 최대 $30 \div 15 = 2$갤런까지만 늘어날 수 있습니다.
가장 느린 안전한 퍼내기는 바로 이 경계에서 일어나며, 이때 물은 배가 해안에 닿는 순간 정확히 $30$갤런이 됩니다.

$$\text{최대 순증가 속도} = \dfrac{30\ \text{gal}}{15\ \text{min}} = 2\ \text{gal/min}$$

💡 $15$분 동안 쓸 수 있는 전체 예산이 $30$갤런이면, 배가 감당할 수 있는 것은 $1$분에 $2$갤런뿐입니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.8 단계 3

들어오는 물과 나가는 물의 균형 맞추기

르로이가 퍼내는 속도를 분당 갤런 단위로 $b$라고 합시다.
물은 $1$분에 $10$갤런 들어오고 $b$갤런 나가므로, $1$분당 순증가량은 $10 - b$입니다.
안전하려면 이 순증가량이 $2$ 이하여야 합니다: $10 - b \le 2$, 정리하면 $b \ge 8$입니다.
작동하는 가장 작은 퍼내기 속도는 $b = 8$ 갤런/분, 즉 선택지 (D)입니다.

$$10 - b \le 2 \;\Rightarrow\; b \ge 8 \;\Rightarrow\; b_{\min} = 8\ \textbf{(D)}$$

💡 퍼내기는 $1$분에 쏟아지는 $10$갤런 중 $2$갤런만 남기고 다 없애야 하므로, 최소 $8$갤런은 치워야 합니다.

[1] #8 6.RP.A.3 시간은 거리를 속도로 나눈 값입니다. 시속 $4$마일로 $1$마일을 가면 $\tfrac{1}{4}$시간이 걸립니다. 물이 새는 속도와 비교하려면

[2] #14 6.RP.A.3 배는 물을 최대 $30$갤런까지만 더 담을 수 있고, $15$분 내내 버텨야 합니다. 이 한계를 여행 전체에 고르게 나누면, 배 안의 물은 순증

[3] #4 6.EE.B.8 르로이가 퍼내는 속도를 분당 갤런 단위로 $b$라고 합시다. 물은 $1$분에 $10$갤런 들어오고 $b$갤런 나가므로, $1$분당 순증가량은 $

검토

합리성 확인: 경계를 직접 확인해 봅시다. $10$갤런/분으로 새는 물에 맞서 $8$갤런/분으로 퍼내면 순증가량은 $2$갤런/분이고, $15$분 동안 $2 \times 15 = 30$갤런으로 딱 한계에 닿으므로 $8$은 안전하며 그보다 느리면 안 됩니다. $6$처럼 더 느리면 $1$분에 $4$갤런이 쌓여 $60$갤런에 이르러 배가 가라앉으므로 (A), (B), (C)는 실패합니다. $10$은 배를 아주 마른 상태로 유지하지만 필요 이상으로 퍼내는 것이므로 (E)는 가장 느린 값이 아닙니다.

대안 접근: 속도 대신 전체 갤런으로 풀어 봅시다. $15$분 동안 새는 물은 $10 \times 15 = 150$갤런입니다. 르로이는 그중 $30$갤런만 남기고 다 퍼내야 하므로, $15$분 동안 최소 $150 - 30 = 120$갤런을 치워야 하고, 이는 $120 \div 15 = 8$ 갤런/분으로 같은 선택지 (D)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (시속 $4$마일로 $1$마일 가는 여행을 $15$분으로 바꾸고, 안전한 최대 순증가 $30 \div 15 = 2$ 갤런/분을 구함.)
6.EE.B.8 Write an inequality of the form x > c or x < c and graph on a number line (안전 조건 $10 - b \le 2$를 $b \ge 8$로 쓰고 가장 느린 퍼내기 속도 $b = 8$을 읽어냄.)

⭐ 모든 것을 $15$분 여행의 갤런/분으로 바꾸세요. 배는 $1$분에 새는 $10$갤런 중 $2$갤런만 늘어날 수 있으므로, 르로이는 최소 $8$갤런을 퍼내야 합니다.