AMC 10 · 2008 · #11

학년 6 rate-ratio
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation
rateunit-conversionoptimization dimensional-analysisextremal-construction ↑ 선수 지식: rate
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
배가 해안에서 1 마일 떨어져 있습니다. 물이 1분에 10갤런씩 새어 들어오고, 배에 들어온 물이 30갤런을 넘으면 배가 가라앉습니다. 스티브는 시속 4마일로 해안을 향해 노를 젓고, 그동안 르로이는 물을 퍼냅니다. 배가 가라앉지 않고 해안에 닿으려면 르로이가 물을 퍼내는 가장 느린 일정한 속도는 분당 몇 갤런인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ 2$
(B)
$\ 4$
(C)
$\ 6$
(D)
$\ 8$
(E)
$\ 10$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 단위 살펴보기

숫자들이 마일, 시속 마일, 갤런, 분당 갤런처럼 서로 다른 단위로 주어져 있습니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 먼저 단위를 맞추라고 말합니다. 여행을 몇 분짜리로 바꾸면 모든 것을 분당 갤런으로 잴 수 있습니다. 문제가 가장 느린 안전 속도를 묻고 있으므로, 도구 #14(극단의 원리)는 물이 딱 30갤런 한계까지 쌓이고 한 방울도 넘지 않는 경계 상황을 가리킵니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 퍼내는 속도에 이름을 붙이면 들어오는 물과 나가는 물의 균형이 하나의 깔끔한 부등식이 됩니다.

1STEP 1

여행 시간 구하기

시간은 거리를 속도로 나눈 값입니다. 시속 4마일로 1마일이면 14\frac{1}{4}시간, 곧 15분입니다.

t = (1 mi)/(4 mi/hr) = 1/4 hr = 15 min
2STEP 2

안전한 최대 순증가 속도 정하기

30갤런을 15분에 고르게 나누면 물은 순증가로 1분에 최대 2갤런까지만 늘 수 있습니다.

최대 순증가 속도 = (30 gal)/(15 min) = 2 gal/min
3STEP 3

들어오는 물과 나가는 물의 균형 맞추기

퍼내는 속도를 b라 하면 순증가 10−b10-b가 2 이하여야 하므로 b≥8b\ge 8, 최소 8갤런/분이고 답은 (D)입니다.

10 - b ≤ 2 → b ≥ 8 → b_min = 8 (D)
정답
8
경계를 직접 확인해 봅시다. 10갤런/분으로 새는 물에 맞서 8갤런/분으로 퍼내면 순증가량은 2갤런/분이고, 15분 동안 2 × 15 = 30갤런으로 딱 한계에 닿으므로 8은 안전하며 그보다 느리면 안 됩니다. 6처럼 더 느리면 1분에 4갤런이 쌓여 60갤런에 이르러 배가 가라앉으므로 (A), (B), (C)는 실패합니다. 10은 배를 아주 마른 상태로 유지하지만 필요 이상으로 퍼내는 것이므로 (E)는 가장 느린 값이 아닙니다.
💡핵심 정리

모든 것을 15분 여행의 갤런/분으로 바꾸세요. 배는 1분에 새는 10갤런 중 2갤런만 늘어날 수 있으므로, 르로이는 최소 8갤런을 퍼내야 합니다.

  • 여행 시간 구하기
  • 안전한 최대 순증가 속도 정하기
  • 들어오는 물과 나가는 물의 균형 맞추기

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