AMC 10 · 2008 · #13

학년 6 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed

ratefraction-arithmeticlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

더그는 어떤 방을 $5$ 시간 만에 페인트칠할 수 있다. 데이브는 같은 방을 $7$ 시간 만에 페인트칠할 수 있다. 더그와 데이브가 함께 그 방을 칠하면서 점심을 위해 한 시간 동안 쉰다. 점심 시간을 포함하여, 두 사람이 함께 작업을 완료하는 데 필요한 총 시간을 $t$ 시간이라 하자. $t$ 가 만족하는 방정식은 다음 중 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)\left(t+1\right)=1$

(B)

$\ \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)t+1=1$

(C)

$\ \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)t=1$

(D)

$\ \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)\left(t-1\right)=1$

(E)

$\ \left(5+7\right)t=1$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 더그는 방 하나를 5시간에, 데이브는 같은 방을 7시간에 칠한다. 두 사람이 함께 칠하지만 중간에 한 시간짜리 점심 휴식을 한 번 갖는다. t가 시작부터 끝까지 걸린 총 시간이고 이 점심 시간까지 포함한다고 할 때, t가 만족해야 하는 식이 다섯 개 중 어느 것인지 고른다.

주어진 것: 더그 혼자서는 방 전체를 5시간에 칠한다.; 데이브 혼자서는 같은 방을 7시간에 칠한다.; 두 사람이 함께 칠하며 한 시간짜리 점심 휴식을 한 번 갖는다.; t는 총 걸린 시간이며 점심 시간까지 포함한다.

구하는 것: 총 시간 t가 만족해야 하는 식이 다섯 개 중 어느 것인지.

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

선택지가 전부 식이므로, 목표는 상황을 식으로 옮기는 것이지 수를 계산하는 것이 아니다. 각 칠하는 속도를 시간당 방의 비율, 즉 rate로 읽고, 함께 일하니 두 속도를 더한 다음, '총 시간에서 점심 시간을 뺀 것'을 실제 칠한 시간으로 옮긴다. 팀 속도에 그 칠한 시간을 곱해서 방 하나와 같다고 놓으면 식이 나오고, 그것을 다섯 선택지와 맞춰 본다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

각 시간을 속도로 바꾸기

속도는 한 시간에 방의 얼마만큼을 칠하는지를 말한다.
더그는 방 전체를 5시간에 끝내니 한 시간에 방의 5분의 1을 칠한다.
데이브는 7시간에 끝내니 한 시간에 방의 7분의 1을 칠한다.
이렇게 쓰면 방당 시간이 아니라 시간당 일한 양을 따라갈 수 있다.

\text{더그} = \tfrac{1}{5}\ \text{room/hr},\quad \text{데이브} = \tfrac{1}{7}\ \text{room/hr}

💡 방 하나를 몇 시간에 끝낸다는 것은 한 시간마다 그 시간 분의 1만큼 칠한다는 뜻이다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 2

함께 일하니 속도를 더하기

두 사람이 동시에 칠하면 각자가 한 시간에 끝내는 비율이 서로 더해진다.
그래서 나란히 칠하면 한 시간마다 방의 5분의 1 더하기 7분의 1을 칠한다.
이 합이 두 사람의 팀 속도이고, 선택지가 그대로 합으로 두었으므로 우리도 합의 형태로 둔다.

$$\left(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}\right)\ \text{room/hr}$$

💡 두 사람이 동시에 칠하면 한 시간에 각자 칠하는 양의 합만큼을 칠한다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.6 단계 3

칠한 시간과 총 시간을 구분하기

총 시간 t는 시작부터 끝까지 모든 시간을 세지만, 그중 한 시간은 칠을 하지 않는 점심이다.
그 노는 한 시간을 빼면 실제로 칠한 시간은 t 빼기 1시간이다.
이 단계를 대부분 놓치는데, 시계는 t시간 도는 동안 붓은 t 빼기 1시간만 움직이기 때문이다.

$$\text{painting time} = t - 1$$

💡 붓을 든 시간만 일한 것으로 세므로, 총 시간에서 점심 시간을 뺀다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 4

식을 세우고 선택지와 맞추기

속도 곱하기 시간은 일한 양이고, 이 일은 정확히 방 하나다.
팀 속도에 칠한 시간을 곱해서 1과 같다고 놓으면 (1/5 + 1/7)(t - 1) = 1이 된다.
선택지를 보면 (A)는 t 더하기 1을, (C)는 그냥 t를 써서 둘 다 점심 시간을 잘못 세는 반면, 이 식은 t 빼기 1을 써서 선택지 (D)와 일치한다.

$$\left(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}\right)(t-1)=1$$

💡 팀 속도에 실제로 일한 시간을 곱하면 두 사람이 끝낸 방 하나가 된다.

[1] #8 6.RP.A.3 속도는 한 시간에 방의 얼마만큼을 칠하는지를 말한다. 더그는 방 전체를 5시간에 끝내니 한 시간에 방의 5분의 1을 칠한다. 데이브는 7시간에

[2] #8 6.RP.A.3 두 사람이 동시에 칠하면 각자가 한 시간에 끝내는 비율이 서로 더해진다. 그래서 나란히 칠하면 한 시간마다 방의 5분의 1 더하기 7분의 1을

[3] #13 6.EE.B.6 총 시간 t는 시작부터 끝까지 모든 시간을 세지만, 그중 한 시간은 칠을 하지 않는 점심이다. 그 노는 한 시간을 빼면 실제로 칠한 시간은 t

[4] #13 6.EE.B.7 속도 곱하기 시간은 일한 양이고, 이 일은 정확히 방 하나다. 팀 속도에 칠한 시간을 곱해서 1과 같다고 놓으면 (1/5 + 1/7)(t - 1

검토

합리성 확인: 함께 하면 시간당 속도가 1/5 + 1/7 = 12/35 방이라, 쉬지 않고 칠하면 35/12, 약 2.9시간이 걸리고, 점심 시간을 더하면 t는 약 3.9시간이 된다. t 빼기 1인 약 2.9를 (12/35)(t-1)에 넣으면 대략 방 하나가 나와 맞아떨어진다. 그냥 t나 t 더하기 1을 쓰면 방 하나를 넘어가므로, 점심 시간은 빼는 것이 맞고 따라서 (D)가 옳다.

대안 접근: 단위로 따져 볼 수도 있다. 각 선택지의 좌변은 방 하나가 나와야 하는데, 시간당 방인 속도에 시간을 곱해야만 방으로 약분된다. 실제로 칠한 시간은 t에서 점심 시간을 뺀 것이므로 t 빼기 1이 강제되고, (E)는 5 + 7이 속도가 아니라 시간이라 아예 어긋난다. 이 단위 추론만으로도 (D)를 가리킨다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (각 사람의 속도를 시간당 방 비율로 읽고, 두 속도를 더해 함께 일하는 팀 속도로 만드는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (총 시간 t에서 점심 시간을 빼서 실제 칠한 시간을 t - 1이라는 식으로 나타내는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (팀 속도 곱하기 칠한 시간을 방 하나와 같다고 놓아 (1/5 + 1/7)(t - 1) = 1이라는 식을 세우는 데 사용.)

⭐ 실제로 일한 시간만 세니까, 속도에 시간을 곱하기 전에 쉬는 시간을 먼저 빼자.