AMC 10 · 2008 · #13

학년 6 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed

ratefraction-arithmeticlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

더그는 방 하나를 5시간에, 데이브는 같은 방을 7시간에 칠한다. 두 사람이 함께 칠하지만 중간에 한 시간짜리 점심 휴식을 한 번 갖는다. t가 시작부터 끝까지 걸린 총 시간이고 이 점심 시간까지 포함한다고 할 때, t가 만족해야 하는 식이 다섯 개 중 어느 것인지 고른다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)\left(t+1\right)=1$

(B)

$\ \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)t+1=1$

(C)

$\ \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)t=1$

(D)

$\ \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)\left(t-1\right)=1$

(E)

$\ \left(5+7\right)t=1$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

선택지가 전부 식이므로, 목표는 상황을 식으로 옮기는 것이지 수를 계산하는 것이 아니다. 각 칠하는 속도를 시간당 방의 비율, 즉 rate로 읽고, 함께 일하니 두 속도를 더한 다음, '총 시간에서 점심 시간을 뺀 것'을 실제 칠한 시간으로 옮긴다. 팀 속도에 그 칠한 시간을 곱해서 방 하나와 같다고 놓으면 식이 나오고, 그것을 다섯 선택지와 맞춰 본다.

1STEP 1

각 시간을 속도로 바꾸기

방당 시간을 시간당 양으로 뒤집으면, 더그는 한 시간에 방의 $\frac{1}{5}$ 을, 데이브는 $\frac{1}{7}$ 을 칠한다.

더그 = 1/5 room/hr, 데이브 = 1/7 room/hr

2STEP 2

함께 일하니 속도를 더하기

나란히 칠하면 속도가 더해져서, 두 사람은 한 시간에 방의 $\frac{1}{5}+\frac{1}{7}$ 을 칠한다.

(1/5+1/7) room/hr

3STEP 3

칠한 시간과 총 시간을 구분하기

점심 한 시간은 칠하지 않으므로, 실제로 칠한 시간은 $t-1$ 시간이다.

painting time = t - 1

4STEP 4

식을 세우고 선택지와 맞추기

팀 속도 곱하기 칠한 시간이 방 하나이므로 $\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)(t-1)=1$ , 곧 선택지 (D).

(1/5+1/7)(t-1)=1

정답

(1/5+1/7)(t-1)=1

함께 하면 시간당 속도가 1/5 + 1/7 = 12/35 방이라, 쉬지 않고 칠하면 35/12, 약 2.9시간이 걸리고, 점심 시간을 더하면 t는 약 3.9시간이 된다. t 빼기 1인 약 2.9를 (12/35)(t-1)에 넣으면 대략 방 하나가 나와 맞아떨어진다. 그냥 t나 t 더하기 1을 쓰면 방 하나를 넘어가므로, 점심 시간은 빼는 것이 맞고 따라서 (D)가 옳다.

💡핵심 정리

실제로 일한 시간만 세니까, 속도에 시간을 곱하기 전에 쉬는 시간을 먼저 빼자.

각 시간을 속도로 바꾸기
함께 일하니 속도를 더하기
칠한 시간과 총 시간을 구분하기
식을 세우고 선택지와 맞추기

각 시간을 속도로 바꾸기

함께 일하니 속도를 더하기

칠한 시간과 총 시간을 구분하기

식을 세우고 선택지와 맞추기

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