AMC 10 · 2008 · #2

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

area-rectanglesratio-proportionpercentage convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

직사각형 안에 정사각형이 하나 그려져 있다. 직사각형의 폭과 정사각형의 한 변의 비는 $2:1$ 이다. 직사각형의 길이와 폭의 비는 $2:1$ 이다. 직사각형 넓이의 몇 퍼센트가 정사각형 안에 들어 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 12.5$

(B)

$\ 25$

(C)

$\ 50$

(D)

$\ 75$

(E)

$\ 87.5$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 안에 정사각형이 들어 있다. 직사각형의 가로(너비)는 정사각형 한 변의 두 배이고, 직사각형의 세로(길이)는 그 너비의 두 배이다. 직사각형 넓이 중 정사각형이 차지하는 부분이 몇 퍼센트인지 구하여라.

주어진 것: 직사각형의 너비와 정사각형 한 변의 비는 $2:1$; 직사각형의 길이와 너비의 비는 $2:1$; 정사각형은 직사각형 안에 완전히 들어 있다; 보기: (A) $12.5$, (B) $25$, (C) $50$, (D) $75$, (E) $87.5$

구하는 것: 직사각형 넓이에 대한 정사각형 넓이의 백분율

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

비만 주어져 있어서 도형의 실제 크기는 자유롭다. 그러니 모든 길이가 비교되는 기준 길이 하나에 이름을 붙인다. 도구 #4(변수 도입하기): 정사각형 한 변을 $s$라 두고 나머지 길이를 모두 $s$로 나타낸다. 도구 #1(그림 그리기)은 두 비를 눈에 보이게 만들고 정사각형이 안에 들어감을 확인해 준다. 두 넓이를 모두 $s$로 나타내면 $s$가 약분되고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 맞는 보기 하나를 확정한다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 6.RP.A.1 단계 1

그림을 그리고 변에 이름 붙이기

직사각형 안에 정사각형이 있는 그림을 그린다.
정사각형 한 변을 $s$라 하자.
첫 번째 비는 너비와 변의 비가 $2:1$이라 했으므로 너비는 변의 두 배, 즉 너비 $= 2s$이다.
변 $s$가 너비 $2s$보다 작으므로 정사각형은 정말로 안에 들어간다.

$$\text{한 변} = s, \quad \text{너비} = 2s$$

💡 가장 짧은 길이를 $s$라 이름 붙이면 다른 모든 길이를 그것에 견주어 잴 수 있다.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 2

두 번째 비로 길이 구하기

두 번째 비는 길이와 너비의 비가 $2:1$이라 했으므로 길이는 너비의 두 배이다.
너비가 $2s$이므로 길이는 $2 \times 2s = 4s$이다.

$$\text{길이} = 2 \times \text{너비} = 2 \times 2s = 4s$$

💡 $2:1$ 비는 곧 두 배 하기이므로 너비에 한 번 더 적용한다.

#4 변수 도입하기 4.MD.A.3 단계 3

두 넓이 구하기

직사각형 넓이는 길이 곱하기 너비이므로 $4s \times 2s = 8s^2$이다.
정사각형 넓이는 변 곱하기 변이므로 $s \times s = s^2$이다.

$$A_{\text{직}} = 4s \times 2s = 8s^2, \quad A_{\text{정}} = s^2$$

💡 두 넓이 모두 같은 $s$에서 나오므로 곧바로 크기를 비교할 수 있다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 4

분수를 백분율로 바꾸기

정사각형이 차지하는 부분은 정사각형 넓이를 직사각형 넓이로 나눈 것, 즉 $\dfrac{s^2}{8s^2}$이다.
$s^2$이 약분되어 $\dfrac{1}{8}$만 남는다.
백분율로는 $\dfrac{1}{8} = 0.125 = 12.5\%$이다.
이보다 큰 보기는 맞지 않으므로 답은 (A)이다.

$$\dfrac{s^2}{8s^2} = \dfrac{1}{8} = 12.5\% \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 변수가 약분되므로 정사각형이 아무리 커도 백분율은 변하지 않는다.

[1] #1 6.RP.A.1 직사각형 안에 정사각형이 있는 그림을 그린다. 정사각형 한 변을 $s$라 하자. 첫 번째 비는 너비와 변의 비가 $2:1$이라 했으므로 너비는

[2] #4 6.RP.A.3 두 번째 비는 길이와 너비의 비가 $2:1$이라 했으므로 길이는 너비의 두 배이다. 너비가 $2s$이므로 길이는 $2 \times 2s = 4s

[3] #4 4.MD.A.3 직사각형 넓이는 길이 곱하기 너비이므로 $4s \times 2s = 8s^2$이다. 정사각형 넓이는 변 곱하기 변이므로 $s \times s =

[4] #3 6.RP.A.3 정사각형이 차지하는 부분은 정사각형 넓이를 직사각형 넓이로 나눈 것, 즉 $\dfrac{s^2}{8s^2}$이다. $s^2$이 약분되어 $\df

검토

합리성 확인: 직사각형은 그린 정사각형과 같은 크기의 작은 정사각형 $2 \times 4 = 8$개로 이루어지므로, 정사각형은 그 $8$칸 중 정확히 $1$칸, 즉 $\tfrac{1}{8} = 12.5\%$이다. 일치한다. 만약 $25\%$라면 직사각형이 그런 정사각형 $4$칸뿐이어야 하지만, 너비만 해도 이미 $2$칸이고 길이가 $4$칸이라 $8$칸이 되므로 $12.5\%$가 타당하다.

대안 접근: 변수 대신 구체적인 수를 잡는다. 한 변을 $1$이라 하면 너비는 $2$, 길이는 $4$, 직사각형 넓이는 $8$, 정사각형 넓이는 $1$이다. 백분율은 $\tfrac{1}{8} = 12.5\%$로 같은 보기 (A)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 언어를 사용하기 (너비와 변의 비 $2:1$을 '너비는 변의 두 배'로 읽고 변을 $s$라 이름 붙이는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 (너비를 두 배 하여 길이를 구하고, 넓이 분수 $\tfrac{1}{8}$을 백분율 $12.5\%$로 바꾸는 데 사용.)
4.MD.A.3 직사각형의 넓이와 둘레 공식을 실생활 문제에 적용하기 (직사각형 넓이 $4s \times 2s = 8s^2$과 정사각형 넓이 $s^2$을 계산하는 데 사용.)

⭐ 비만 주어진 문제에서는 가장 짧은 길이에 이름을 붙이고 나머지를 그것으로 만들면 된다. 끝에서 그 문자는 약분되고, 너비 2와 길이 4가 정사각형 8칸을 만드니 그중 하나가 12.5%이다.