AMC 10 · 2008 · #9

학년 7 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

fraction-arithmeticparitydivisibility-rules guess-and-checklogical-deduction ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

다음 식
$\frac{2x}{3}-\frac{x}{6}$
이 정수라고 하자. $x$ 에 대하여 반드시 참인 명제는 다음 중 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \text{It is negative.}$

(B)

$\ \text{It is even, but not necessarily a multiple of 3.}$

(C)

$\ \text{It is a multiple of 3, but not necessarily even.}$

(D)

$\ \text{It is a multiple of 6, but not necessarily a multiple of 12.}$

(E)

$\ \text{It is a multiple of 12.}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 식 2x/3 - x/6 이 정수가 된다고 한다. 이 사실만으로 x가 반드시 만족해야 하는 설명이 무엇인지 고른다.

주어진 것: $\frac{2x}{3}-\frac{x}{6}$ 의 값이 정수이다.; x는 다섯 개의 보기가 설명하려는 정수이다.

구하는 것: x의 어떤 성질(음수, 짝수, 3의 배수, 6의 배수, 12의 배수)이 항상 성립하는가.

이해

문제 재정리: 식 2x/3 - x/6 이 정수가 된다고 한다. 이 사실만으로 x가 반드시 만족해야 하는 설명이 무엇인지 고른다.

주어진 것: $\frac{2x}{3}-\frac{x}{6}$ 의 값이 정수이다.; x는 다섯 개의 보기가 설명하려는 정수이다.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

복잡해 보이는 식 안에 훨씬 간단한 식이 숨어 있다. 문제를 두 개의 작은 문제로 나눈다. 먼저 $\frac{2x}{3}-\frac{x}{6}$ 을 하나의 분수로 정리하고, 그 분수가 정수가 되려면 x에 무엇이 필요한지 묻는다. 조건이 분명해지면 값을 하나 넣어 보아 강제되지 않는 성질을 찾아내고, 지나치게 많은 것을 주장하는 보기를 지운다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.A.1 단계 1

하나의 분수로 합치기

두 항을 공통분모 6으로 맞춘다.
$\frac{2x}{3}=\frac{4x}{6}$ 이므로 빼면 $\frac{4x}{6}-\frac{x}{6}=\frac{3x}{6}$ 이고, 이는 $\frac{x}{2}$ 로 약분된다.
따라서 식 전체는 그냥 $\frac{x}{2}$ 이다.

$$\frac{2x}{3}-\frac{x}{6}=\frac{4x}{6}-\frac{x}{6}=\frac{3x}{6}=\frac{x}{2}$$

💡 복잡한 식을 가장 간단한 꼴로 다시 쓰면 그 아래 숨은 진짜 질문이 드러난다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 2

정수 조건 바꿔 말하기

식이 $\frac{x}{2}$ 와 같으므로, 이것이 정수라는 말은 $\frac{x}{2}$ 가 정수라는 말과 같다.
그것은 2가 x를 나눌 때, 즉 x가 짝수일 때에만 일어난다.

$$\frac{x}{2}\in\mathbb{Z}\iff 2\mid x$$

💡 분모가 2인 분수는 분자가 2의 배수일 때에만 정수가 된다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 3

강제되지 않는 것 확인하기

$x=2$ 를 넣어 본다.
그러면 $\frac{x}{2}=1$ 로 정수이므로 $x=2$ 는 허용된다.
그러나 2는 3의 배수가 아니므로 x가 3의 배수일 필요는 없다(이는 6의 배수, 12의 배수도 함께 배제한다).
또 2는 양수이므로 x가 음수일 필요도 없다.
허용되는 모든 x에서 성립한 유일한 성질은 짝수라는 것뿐이다.

$$x=2:\ \tfrac{2}{2}=1\in\mathbb{Z},\quad 2=2\cdot1,\quad 2\neq 3k$$

💡 잘 고른 예 하나가 주장된 규칙이 사실은 필요 없음을 증명할 수 있다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

지우고 결론 내리기

짝수는 필수이므로 그 이상을 요구하는 보기를 지운다.
3의 배수, 6의 배수, 12의 배수는 모두 $x=2$ 검증에서 실패하고 음수도 실패한다.
남는 것은 정확히 '짝수이지만 반드시 3의 배수는 아니다'이다.
정답은 (B)이다.

x\text{는 짝수},\ x\text{가 반드시 }3\text{의 배수는 아님}

💡 모든 검증을 통과한 성질이 하나뿐이고 더 강한 것들이 실패하면, 살아남은 그 성질이 답이다.

[1] #7 7.EE.A.1 두 항을 공통분모 6으로 맞춘다. $\frac{2x}{3}=\frac{4x}{6}$ 이므로 빼면 $\frac{4x}{6}-\frac{x}{6}=

[2] #7 4.OA.B.4 식이 $\frac{x}{2}$ 와 같으므로, 이것이 정수라는 말은 $\frac{x}{2}$ 가 정수라는 말과 같다. 그것은 2가 x를 나눌 때,

[3] #6 4.OA.B.4 $x=2$ 를 넣어 본다. 그러면 $\frac{x}{2}=1$ 로 정수이므로 $x=2$ 는 허용된다. 그러나 2는 3의 배수가 아니므로 x가 3

[4] #3 4.OA.B.4 짝수는 필수이므로 그 이상을 요구하는 보기를 지운다. 3의 배수, 6의 배수, 12의 배수는 모두 $x=2$ 검증에서 실패하고 음수도 실패한다.

검토

합리성 확인: 양방향으로 확인한다. x가 짝수이면 $x=2k$ 로 쓸 수 있고, 그러면 $\frac{x}{2}=k$ 는 정수이므로 모든 짝수 x가 성립한다. x가 홀수이면 $\frac{x}{2}$ 는 .5로 끝나 결코 정수가 아니다. 따라서 허용되는 x는 정확히 짝수 전체이며, 이는 보기 (B)와 일치한다.

대안 접근: 값을 넣는 대신 곧바로 추론한다. $\frac{x}{2}$ 가 정수이면 $x=2k$ 이다. $x=2k$ 에는 3으로 나누어떨어지는지에 대한 정보가 전혀 없으므로 3, 6, 12의 배수는 필요하지 않고, 보장되는 성질은 '짝수'뿐이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.EE.A.1 유리수 계수를 가진 일차식을 더하고 빼고 인수분해하고 전개하기 (유리수 계수를 가진 일차식 $\frac{2x}{3}-\frac{x}{6}$ 을 하나의 항 $\frac{x}{2}$ 로 합치기.)
4.OA.B.4 약수 쌍을 모두 찾고 배수를 알아보며 소수·합성수 판별하기 ($\frac{x}{2}$ 가 정수가 되는 것은 x가 2의 배수일 때뿐이며, x가 3, 6, 12의 배수일 필요는 없음을 알아보기.)

⭐ 복잡한 식을 먼저 정리하자. 2x/3 - x/6 은 사실 그냥 x/2 라서, x는 짝수이기만 하면 된다.