AMC 10 · 2008 · #9

학년 7 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

fraction-arithmeticparitydivisibility-rules guess-and-checklogical-deduction ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

x는 정수이고, 식

\frac{2x}{3}-\frac{x}{6}

의 값도 정수이다. 다섯 개의 보기 중 x에 대해 항상 참인 설명은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \text{It is negative.}$

(B)

$\ \text{It is even, but not necessarily a multiple of 3.}$

(C)

$\ \text{It is a multiple of 3, but not necessarily even.}$

(D)

$\ \text{It is a multiple of 6, but not necessarily a multiple of 12.}$

(E)

$\ \text{It is a multiple of 12.}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

복잡해 보이는 식 안에 훨씬 간단한 식이 숨어 있다. 문제를 두 개의 작은 문제로 나눈다. 먼저 2x/3-x/6을 하나의 분수로 정리하고, 그 분수가 정수가 되려면 x에 무엇이 필요한지 묻는다. 조건이 분명해지면 값을 하나 넣어 보아 강제되지 않는 성질을 찾아내고, 지나치게 많은 것을 주장하는 보기를 지운다.

1STEP 1

하나의 분수로 합치기

공통분모 6으로 맞추면 $\frac{4x}{6}-\frac{x}{6}=\frac{3x}{6}$ 이고, 이는 $\frac{x}{2}$ 로 약분된다.

2x/3-x/6=4x/6-x/6=3x/6=x/2

2STEP 2

정수 조건 바꿔 말하기

따라서 주어진 조건은 $\frac{x}{2}$ 가 정수라는 말이고, 이는 2가 x를 나눌 때에만 일어난다.

x/2inZ⇔ 2 ∣ x

3STEP 3

강제되지 않는 것 확인하기

x=2를 넣으면 $\frac{2}{2}=1$ 로 정수지만, 2는 양수이고 3의 배수도 아니다.

x=2: 2/2=1inZ, 2=2·1, 2 ≠ 3k

4STEP 4

지우고 결론 내리기

이 예 하나가 음수, 3의 배수, 6의 배수, 12의 배수를 모두 지우므로 짝수만 남는다. 정답은 (B)이다.

x는 짝수, x가 반드시 3의 배수는 아님

정답

짝수이지만 반드시 3의 배수는 아니다.

양방향으로 확인한다. x가 짝수이면 x=2k 로 쓸 수 있고, 그러면 x/2=k 는 정수이므로 모든 짝수 x가 성립한다. x가 홀수이면 x/2는 .5로 끝나 결코 정수가 아니다. 따라서 허용되는 x는 정확히 짝수 전체이며, 이는 보기 (B)와 일치한다.

💡핵심 정리

복잡한 식을 먼저 정리하자. 2x/3 - x/6은 사실 그냥 x/2 라서, x는 짝수이기만 하면 된다.

하나의 분수로 합치기
정수 조건 바꿔 말하기
강제되지 않는 것 확인하기
지우고 결론 내리기

하나의 분수로 합치기

정수 조건 바꿔 말하기

강제되지 않는 것 확인하기

지우고 결론 내리기

비슷한 유형 더 풀어보기