AMC 10 · 2008 · #12

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Unit Conversion Chain

place-valueunit-conversionestimation identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

우체부 피트는 걸음 수를 세는 만보기를 가지고 있다. 이 만보기는 최대 99999 걸음까지 기록하며, 그 다음 걸음에서 00000으로 넘어간다. 피트는 한 해 동안의 이동 거리를 알아보려 한다. 1월 1일에 피트는 만보기를 00000으로 맞춘다. 한 해 동안 만보기는 99999에서 00000으로 마흔네 번 넘어갔다. 12월 31일에 만보기는 50000을 가리킨다. 피트는 1마일에 1800 걸음을 걷는다. 다음 중 피트가 한 해 동안 걸은 마일 수에 가장 가까운 것은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2500$

(B)

$\ 3000$

(C)

$\ 3500$

(D)

$\ 4000$

(E)

$\ 4500$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 만보계가 $99999$까지 세고 나면 다음 걸음에서 $00000$으로 넘어간다. 한 해를 $00000$에서 시작해 도중에 $44$번 넘어갔고, 연말에는 $50000$을 가리켰다. $1$마일당 $1800$걸음일 때, 걸은 거리(마일)에 가장 가까운 보기를 고르는 문제다.

주어진 것: 만보계는 자릿수가 $5$개이므로 가장 큰 값은 $99999$이다.; 한 해 동안 $99999$에서 $00000$으로 넘어가는 일이 모두 $44$번 일어났다.; $12$월 $31$일의 최종 표시는 $50000$이었다.; 피트는 $1$마일마다 $1800$걸음을 걷는다.

구하는 것: 한 해 동안 걸은 거리(마일)에 가장 가까운 보기.

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

단위의 흐름이 이 문제의 척추다. 만보계는 걸음을 세지만 답은 마일 단위이고, 둘을 이어주는 것이 $1$마일당 $1800$걸음이라는 비율이므로 도구 #8(단위 살펴보기)이 앞장선다. 먼저 걸음 수를 구하려면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 필요하다. 한 작은 문제는 한 번 넘어가는 것이 몇 걸음인지이고, 다른 하나는 남은 $50000$을 더하는 것이다. 어림값이 $2472$쯤 나오면 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리한다. 그 값에 가까운 보기는 하나뿐이기 때문이다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.A.2 단계 1

한 번 넘어간다는 것의 의미

계수기에는 자리가 $5$개뿐이라 표시할 수 있는 가장 큰 수는 $99999$이다.
다음 걸음이면 $100000$이 되어야 하지만 여섯 번째 자리가 없어서 표시는 $00000$으로 되돌아간다.
그래도 그 걸음은 실제로 일어났다.
즉 한 번 넘어갈 때마다 정확히 $100000$걸음이 지난 것이고, $99999$가 아니다.
넘어가게 만든 그 한 걸음이 $100000$번째 걸음이다.

$$99999 + 1 = 100000$$

💡 다섯 자리 계수기는 $100000$걸음마다 다시 $0$부터 시작한다. 자동차 주행계가 한 바퀴 돌면 $0$으로 되돌아가는 것과 같다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

한 해 전체 걸음 수

$44$번 넘어갔다는 것은 $100000$걸음짜리 한 바퀴가 $44$번 있었다는 뜻이므로 $44 \times 100000 = 4400000$걸음이다.
여기에 아직 넘어가지 못하고 계수기에 남아 있는 $50000$걸음이 더 있다.
두 부분을 더하면 한 해 전체 걸음 수가 된다.

$$44 \times 100000 + 50000 = 4400000 + 50000 = 4450000$$

💡 전체 걸음 수는 다 돈 바퀴들에다가 계수기에 남아 있는 값을 더한 것이다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 3

걸음을 마일로 바꾸는 식 세우기

마일과 걸음은 $1$마일당 $1800$걸음이라는 비율로 이어져 있다.
걸음 뭉치를 마일로 바꾸려면 걸음 수를 $1$마일에 든 걸음 수로 나누면 된다.
그래서 마일 수는 $4450000$을 $1800$으로 나눈 값이다.

$$\text{마일} = \dfrac{4450000 \text{ 걸음}}{1800 \text{ 걸음/마일}}$$

💡 전체 걸음을 마일당 걸음으로 나누면 걸음 단위가 사라지고 마일만 남는다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.2 단계 4

나눗셈하고 가장 가까운 보기 고르기

나눗셈을 하면 $4450000 \div 1800 \approx 2472$이다.
약 $2472$마일이다.
보기 $2500, 3000, 3500, 4000, 4500$과 비교하면 $2472$는 $2500$과는 $28$밖에 차이가 안 나고 나머지 보기와는 모두 $500$이 넘게 떨어져 있다.
그래서 가장 가까운 답은 (A) $2500$이다.

$$4450000 \div 1800 \approx 2472.2 \Rightarrow 2500 \text{에 가장 가까움}$$

💡 실제 값 $2472$를 구하고 나면 정답 보기는 그 값에 가장 가까운 하나일 뿐이다.

[1] #7 5.NBT.A.2 계수기에는 자리가 $5$개뿐이라 표시할 수 있는 가장 큰 수는 $99999$이다. 다음 걸음이면 $100000$이 되어야 하지만 여섯 번째 자리

[2] #7 4.OA.A.3 $44$번 넘어갔다는 것은 $100000$걸음짜리 한 바퀴가 $44$번 있었다는 뜻이므로 $44 \times 100000 = 4400000$걸음

[3] #8 6.RP.A.3 마일과 걸음은 $1$마일당 $1800$걸음이라는 비율로 이어져 있다. 걸음 뭉치를 마일로 바꾸려면 걸음 수를 $1$마일에 든 걸음 수로 나누면

[4] #3 6.NS.B.2 나눗셈을 하면 $4450000 \div 1800 \approx 2472$이다. 약 $2472$마일이다. 보기 $2500, 3000, 3500,

검토

합리성 확인: 크기를 점검해 보자. $100000$걸음짜리 $44$바퀴는 $440$만 걸음이고, $1$마일에 대략 $2000$걸음이라고 보면 $2000$마일이 조금 넘으니 수천 마일 초반대 답이 예상된다. $2472$가 여기에 맞고 $3000$ 이상은 너무 크다. 실제 비율은 $1800$으로 조금 더 작으므로($1$마일당 걸음이 $2000$보다 적으면 마일은 더 늘어난다) 값이 약 $2472$로 올라가지만 여전히 $2500$에 가장 가깝다. 어림값이 다른 보기들보다 훨씬 아래에 놓여 (A)를 확인해 준다.

대안 접근: 두 단계로 나누지 말고 단위 분수로 한 번에 바꿀 수도 있다. $4450000 \text{ 걸음} \times \dfrac{1 \text{ 마일}}{1800 \text{ 걸음}} = \dfrac{4450000}{1800} \approx 2472$마일이다. 또는 먼저 반올림해 암산으로 빠르게 어림할 수도 있다. $4450000 \approx 4.5 \times 10^{6}$이고 $4.5 \times 10^{6} \div 1800 \approx 2500$이 되어 곧바로 (A)를 가리킨다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.A.2 Explain patterns in number of zeros and placement of decimal point (다섯 자리 계수기가 $100000$걸음마다 넘어간다는 것을 알고 $44 \times 100000$을 $0$을 붙여 계산하는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers ($44$바퀴와 남은 $50000$을 합쳐 한 해 전체 $4450000$걸음을 구하는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($1$마일당 $1800$걸음이라는 비율로 걸음을 마일당 걸음으로 나누는 식을 세우는 데 사용.)
6.NS.B.2 Fluently divide multi-digit numbers using the standard algorithm ($4450000$을 $1800$으로 나눠 약 $2472$마일을 구하는 데 사용.)

⭐ 넘어가는 계수기는 $100000$걸음마다 다시 시작하니, 다 돈 바퀴에 남은 값을 더한 뒤 $1$마일에 든 걸음 수로 나누면 된다.