AMC 10 · 2008 · #18

학년 8 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed

ratelinear-equations-one-varfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

벽돌공 브렌다는 굴뚝 하나를 혼자 쌓는 데 $9$ 시간이 걸리고, 벽돌공 브랜던은 혼자 쌓는 데 $10$ 시간이 걸린다. 두 사람이 함께 일하면 이야기를 많이 나누어 시간당 벽돌 생산량이 합쳐서 $10$ 개 줄어든다. 함께 일하면 굴뚝을 $5$ 시간 만에 쌓는다. 이 굴뚝에는 벽돌이 몇 개 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 500$

(B)

$\ 900$

(C)

$\ 950$

(D)

$\ 1000$

(E)

$\ 1900$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 브렌다는 굴뚝 하나를 혼자서 9시간에 쌓고, 브랜던은 혼자서 10시간에 쌓습니다. 둘이 함께 일하면 수다를 떠느라 합친 속도가 시간당 벽돌 10개만큼 줄어듭니다. 함께 일하면 굴뚝을 5시간에 완성합니다. 굴뚝에 들어간 벽돌은 몇 개인지 구하세요.

주어진 것: 브렌다는 혼자서 굴뚝을 9시간에 완성한다; 브랜던은 혼자서 굴뚝을 10시간에 완성한다; 함께 일하면 합친 속도가 각자 속도의 합보다 시간당 벽돌 10개만큼 느리다; 함께 일하면 5시간에 완성한다

구하는 것: 굴뚝에 들어간 전체 벽돌 개수

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #13 대수로 바꾸기

전체 벽돌 수는 모르지만 모든 속도가 그 값에 달려 있습니다. 그 전체를 문자 하나로 이름 붙이면 '시간당' 이라는 표현이 정확한 분수로 바뀝니다. 단위(시간당 벽돌 수 곱하기 시간은 벽돌 수)를 따라가면 어떤 식을 세워야 할지 정확히 알 수 있고, 그러면 문장제 전체가 하나의 일차방정식으로 정리됩니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 1

전체를 문자로 놓고 각 속도 쓰기

굴뚝의 벽돌 수를 N이라 하자.
브렌다는 같은 N개를 9시간에 완성하므로 시간당 N/9개를 쌓는다.
브랜던은 N개를 10시간에 완성하므로 시간당 N/10개를 쌓는다.

\text{브렌다: } \frac{N}{9}\ \text{개/시간}, \qquad \text{브랜던: } \frac{N}{10}\ \text{개/시간}

💡 정해진 하나의 일을 걸린 시간으로 나누면 속도가 되므로, 같은 미지의 전체가 두 속도를 모두 결정한다.

#8 단위 살펴보기 7.EE.B.4 단계 2

합친 속도로 방정식 세우기

함께 일할 때의 속도는 두 속도의 합에서 수다로 잃는 시간당 10개를 뺀 것, 즉 시간당 N/9 + N/10 - 10개다.
속도 곱하기 시간은 한 일의 양이고, 5시간 동안 굴뚝 전체인 N개를 완성하므로, 그 합친 속도의 5배가 N과 같다.

$$5\left(\frac{N}{9} + \frac{N}{10} - 10\right) = N$$

💡 시간당 벽돌 수에 시간을 곱하면 벽돌 수가 되므로, 5시간 동안의 결과가 굴뚝 하나와 같아야 한다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 3

분수를 없애고 풀기

5를 분배한 다음, 모든 항에 18(9와 10의 분모를 함께 없애도록 맞춘 수)을 곱해 분수를 없앤다.
그러면 양변에 N이 남고, 그것을 모으면 전체 개수가 바로 나온다.

$$\frac{5N}{9} + \frac{5N}{10} - 50 = N \;\Rightarrow\; 10N + 9N - 900 = 18N \;\Rightarrow\; 19N - 900 = 18N \;\Rightarrow\; N = 900$$

💡 분모를 없애면 지저분한 분수 방정식이 미지수가 양변에 있는 정수 식으로 바뀌어, 한 번의 뺄셈으로 미지수가 분리된다. 굴뚝의 벽돌은 900개, 보기 (B)이다.

[1] #4 6.RP.A.3 굴뚝의 벽돌 수를 N이라 하자. 브렌다는 같은 N개를 9시간에 완성하므로 시간당 N/9개를 쌓는다. 브랜던은 N개를 10시간에 완성하므로 시간당

[2] #8 7.EE.B.4 함께 일할 때의 속도는 두 속도의 합에서 수다로 잃는 시간당 10개를 뺀 것, 즉 시간당 N/9 + N/10 - 10개다. 속도 곱하기 시간은

[3] #13 8.EE.C.7 5를 분배한 다음, 모든 항에 18(9와 10의 분모를 함께 없애도록 맞춘 수)을 곱해 분수를 없앤다. 그러면 양변에 N이 남고, 그것을 모으면

검토

합리성 확인: N = 900을 이야기에 맞춰 확인하자. 브렌다는 900/9 = 100개/시간, 브랜던은 900/10 = 90개/시간을 쌓고, 합치면 190개, 여기서 수다로 잃는 10개를 빼면 180개/시간이다. 5시간이면 180 x 5 = 900개로 정확히 굴뚝 하나다. 상식적으로도 맞는다. 수다 손실이 없다면 합친 속도가 190개/시간이고 5시간이면 1000 바로 아래에 놓이므로 900이 자연스럽다. 멀리 떨어진 보기 500과 1900은 맞지 않는다.

대안 접근: 변수 하나 대신 일의 비율로 생각할 수도 있다. 5시간 동안 브렌다 혼자 굴뚝의 5/9, 브랜던 혼자 5/10 = 1/2을 하므로 합치면 5/9 + 1/2 = 19/18 굴뚝이다. 이는 굴뚝 하나보다 1/18만큼 많은데, 그 초과분이 바로 수다 손실이 없앤 일의 양이다. 10개/시간 x 5시간 = 50개가 굴뚝의 1/18이므로, 굴뚝은 50 x 18 = 900개다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 (각 벽돌공의 혼자 걸리는 시간을 미지의 전체로 표현한 시간당 벽돌 속도로 바꾸기)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 방정식 세우기 (문장제 조건(5시간의 합친 일이 굴뚝 전체와 같음)을 방정식으로 옮기기)
8.EE.C.7 일차방정식 풀기 (분수를 없애고 양변의 미지수를 모아 벽돌 개수 구하기)

⭐ 모르는 전체에 이름을 붙이고, 모든 '시간당'을 그 이름의 분수로 바꾼 다음, 속도 곱하기 시간은 일의 양으로 마무리하면 된다.