경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2019 · #5
학년 8 rate-ratioalgebra
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AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
후보가 다섯 개뿐인 객관식이므로 도구 #3(가능성 지우기)이 가장 자연스러운 선택입니다 — 이야기 속 단서 하나하나를 "그래프가 반드시 가져야 할 시각적 특징"으로 바꾼 뒤, 그 특징을 어기는 그래프를 차례대로 지워 나가면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)은 짝꿍 역할입니다. 선택지를 보기 전에 머릿속으로 각 동물의 그래프 모양을 미리 스케치 — 거북이는 완만한 직선 하나, 토끼는 가파른 선 → 평평한 선반 → 다시 가파른 선이 거북이보다 늦게 결승선에 닿는 모양 — 해 두면, 그 다음은 그저 일치 여부를 체크하는 일이 됩니다.
거북이 그래프 그려 보기
거북이는 느리고 일정한 속력 → 원점을 지나는 완만한 직선 하나, 휘지 않음.
같은 시간 동안 늘 같은 거리만큼 더 가니까, 그 자취는 휘지 않는 직선이 됩니다.
8.F.A.3Draw A Diagram토끼 그래프 그려 보기
토끼는 달리기·낮잠·달리기 → 가파른 선, 평평한 선반, 다시 가파른 선.
이야기 속 동사 하나("달린다", "잔다", "달린다")가 그래프 조각 하나씩에 대응되고, 평평한 선반은 낮잠의 결정적 증거입니다.
토끼가 달리고, 낮잠 자고, 다시 달리는 이야기는 거리-시간 그래프에서 가파른 선, 평평한 선, 다시 가파른 선으로 나타나야 한다.
▸ 왜?
달리는 각 구간에서 토끼는 빠르고 변하지 않는 속력을 유지하므로 같은 시간 조각마다 같은 거리를 더하고, 같은 양을 매 조각 더하면 그래프가 일정한 폭으로 꾸준히 올라간다 — 가파른 직선이다.
▸ 왜?
고정된 속력에서는 이동한 거리가 바로 그 속력에 흐른 시간을 곱한 값이므로, 같은 크기의 시간 구간마다 같은 거리가 더해져 전체가 하나의 일정한 비율로 올라간다.
▸ 왜?
낮잠 동안에는 시간은 계속 흐르지만 토끼는 거리를 얻지 못하므로, 거리 합계는 그대로 남고 그래프는 오르지도 내리지도 않는다 — 평평한 수평선이다.
▸ 왜?
매 순간 거리를 0만큼 더하는 것은 합계를 그대로 두는 것이므로, 그래프의 높이는 있던 자리에 머문다.
▸ 왜?
토끼의 전체 경주는 이 세 구간을 빈틈도 겹침도 없이 이어 붙인 것이므로, 전체 곡선은 가파른 조각, 평평한 조각, 가파른 조각을 그 순서로 이은 것이다.
▸ 왜?
전체 여정은 빠뜨린 것도 두 번 센 것도 없이 그 부분들 자체이므로, 전체 경로는 그 세 구간을 순서대로 다시 이어 붙인 것이다.
곡선인 거북이 그래프 지우기
(D) 제외: 거북이 자취가 곡선인데, 곡선은 속도가 변한다는 뜻이라 조건과 어긋남.
곡선은 "빨라지거나 느려진다" 는 말과 같은데, 거북이는 어느 쪽도 하지 않습니다.
8.F.B.5Eliminate Possibilities낮잠 구간 없는 그래프 지우기
(C)와 (E) 제외: 낮잠 선반이 없고, (C)는 거리가 내려가기까지 함(뒤로 달림).
평평한 구간이 없다 = 낮잠이 없다; 거리가 내려가는 구간은 "뛰던 길을 되돌아 갔다" 는 뜻이라 말이 안 됩니다.
8.F.B.5Eliminate Possibilities두 도착 시각 비교하기
(A)와 (B) 중에서는 마지막 단서로 — 결승선과 더 이른 시간에 만나는 쪽이 우승.
결승 거리 선과 더 작은 t 에서 만나는 쪽이 더 먼저 도착한 우승자입니다.
6.RP.A.2Eliminate Possibilities토끼가 이기는 그래프 지우기
(A)는 토끼가 먼저 도착(오답), (B)는 거북이 직선이 먼저 결승선에 닿음 — (B)가 정답.
거북이가 이긴다는 말은, 시간축 위에서 거북이의 결승 시각 점이 토끼의 결승 시각 점보다 왼쪽에 찍힌다는 뜻입니다.
8.F.B.5Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 "이야기의 한 문장을 기울기 한 조각(가파름·평평·완만함)으로 옮기는 그래프 읽기" 만 알면 풀 수 있어요!
- 거북이 그래프 그려 보기
- 토끼 그래프 그려 보기
- 곡선인 거북이 그래프 지우기
- 낮잠 구간 없는 그래프 지우기
- 두 도착 시각 비교하기
- 토끼가 이기는 그래프 지우기
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