AMC 10 · 2008 · #4

학년 5 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

optimization extremal-construction ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

어느 세미프로 야구 리그는 각 팀이 21명의 선수로 이루어져 있다. 리그 규정에 따르면 한 선수는 최소 15,000달러를 받아야 하며, 각 팀의 모든 선수 급여의 합은 700,000달러를 넘을 수 없다. 한 선수가 받을 수 있는 최대 급여는 몇 달러인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 270,000$

(B)

$\ 385,000$

(C)

$\ 400,000$

(D)

$\ 430,000$

(E)

$\ 700,000$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 팀에는 선수가 21명 있습니다. 모든 선수는 적어도 $15,000를 받아야 하고, 선수 21명의 연봉을 모두 더한 값은 $700,000를 넘을 수 없습니다. 한 선수가 받을 수 있는 가장 큰 연봉을 구합니다.

주어진 것: 한 팀에는 선수가 21명 있습니다.; 모든 선수는 적어도 $15,000를 받습니다.; 선수 21명의 연봉 합은 많아야 $700,000입니다.

구하는 것: 한 선수가 받을 수 있는 최대 연봉.

이해

주어진 것: 한 팀에는 선수가 21명 있습니다.; 모든 선수는 적어도 $15,000를 받습니다.; 선수 21명의 연봉 합은 많아야 $700,000입니다.

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #13 대수로 바꾸기

$700,000라는 한도를 선수 21명이 나눠 씁니다. 한 선수에게 최대한 많이 주려면, 나머지 선수들은 규칙이 허락하는 가장 작은 금액까지 낮춰야 합니다. 나머지 20명이 최소 금액에 도달하면, 한도에서 남는 돈이 모두 마지막 선수의 몫이 됩니다.

실행 — 정답: C

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 1

나머지 선수를 최소로 낮추기

21명의 연봉은 $700,000라는 고정된 한도를 나눠 씁니다. 한 선수의 연봉을 최대한 크게 하려면, 나머지 20명은 규칙이 허용하는 최소 금액인 $15,000씩 받아야 합니다.

$$\text{one player} = 700{,}000 - (\text{salaries of the other } 20)$$

💡 합이 고정되어 있으면, 다른 몫들이 한계까지 줄어들 때 한 몫이 가장 커집니다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.5 단계 2

나머지 20명의 비용

20명이 각각 최소 금액 $15,000를 받으면, 비용은 20 곱하기 $15,000입니다.
달러 단위로 세면 이 최소 비용은 $300,000입니다.

$$20 \times 15{,}000 = 300{,}000$$

💡 $15,000짜리 묶음 20개는 곱셈으로 빠르게 계산한 반복 덧셈일 뿐입니다.

#13 대수로 바꾸기 4.NBT.B.4 단계 3

남는 돈이 한 선수의 몫

나머지 20명에게 쓴 $300,000를 한도 $700,000에서 빼면 됩니다.
남은 $400,000가 그 한 선수가 받을 수 있는 최대 금액이므로, 정답은 (C)입니다.

$$700{,}000 - 300{,}000 = 400{,}000$$

💡 다른 선수를 모두 채우고 남은 예산이 바로 한 선수가 가져갈 수 있는 금액입니다.

[1] #14 4.OA.A.3 21명의 연봉은 $700,000라는 고정된 한도를 나눠 씁니다. 한 선수의 연봉을 최대한 크게 하려면, 나머지 20명은 규칙이 허용하는 최소 금

[2] #8 5.NBT.B.5 20명이 각각 최소 금액 $15,000를 받으면, 비용은 20 곱하기 $15,000입니다. 달러 단위로 세면 이 최소 비용은 $300,000입니

[3] #13 4.NBT.B.4 나머지 20명에게 쓴 $300,000를 한도 $700,000에서 빼면 됩니다. 남은 $400,000가 그 한 선수가 받을 수 있는 최대 금액이므

검토

합리성 확인: 합을 확인합니다. 한 선수 $400,000에 20명의 $15,000를 더하면 400,000 + 300,000 = 700,000으로, 한도와 정확히 같고 넘지 않습니다. 모든 연봉이 $15,000 이상이므로 규칙을 모두 지킵니다. 보기 (E) $700,000는 나머지 20명에게 줄 돈이 하나도 남지 않아 각자 $15,000가 필요한 조건을 어기므로 틀립니다.

대안 접근: 변수를 씁니다. 최고 연봉을 M이라 하면, 나머지 20명은 적어도 20 곱하기 $15,000 = $300,000가 필요하므로 M + 300,000이 700,000 이하여야 하고, 따라서 M은 400,000 이하입니다. 가장 큰 M은 $400,000입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (최대-한명/최소-나머지 아이디어를 공유 한도에서의 뺄셈으로 바꾸는 데 사용.)
5.NBT.B.5 Fluently multiply multi-digit whole numbers (20 곱하기 $15,000를 계산해 나머지 선수들의 최소 비용을 구하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (한도 $700,000에서 $300,000를 빼서 남는 연봉을 구하는 데 사용.)

⭐ 합에 한도가 있을 때, 다른 몫을 모두 최소로 줄이면 한 몫을 가장 크게 만들 수 있습니다.