AMC 10 · 2008 · #4
학년 5 arithmetic optimization extremal-construction ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
어느 세미프로 야구 리그는 각 팀이 선수 21명으로 이루어져 있습니다. 모든 선수는 최소 15,000달러를 받아야 하고, 한 팀 선수 21명의 급여를 모두 더한 값은 700,000달러를 넘을 수 없습니다. 한 선수가 받을 수 있는 최대 급여는 몇 달러입니까?
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\ 270,000$
(B)
$\ 385,000$
(C)
$\ 400,000$
(D)
$\ 430,000$
(E)
$\ 700,000$
AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 극단의 원리
700,000라는 한도를 선수 21명이 나눠 씁니다. 한 선수에게 최대한 많이 주려면, 나머지 선수들은 규칙이 허락하는 가장 작은 금액까지 낮춰야 합니다. 나머지 20명이 최소 금액에 도달하면, 한도에서 남는 돈이 모두 마지막 선수의 몫이 됩니다.
1STEP 1
나머지 선수를 최소로 낮추기
21명이 한도 하나를 나눠 쓰므로, 나머지 20명은 리그 최소 금액 15,000달러로 낮춥니다.
one player = 700,000 - (salaries of the other 20)
합이 고정되어 있으면, 다른 몫들이 한계까지 줄어들 때 한 몫이 가장 커집니다.
총합이 정해져 있으면, 다른 모든 부분이 한계까지 줄어들 때 한 부분이 가장 크게 자란다.
▸ 왜?
부분들이 합쳐 전체를 이루므로, 나머지가 가져가지 않은 것이 한 사람의 몫이다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
▸ 왜?
나머지의 합이 작을수록 남는 것이 크므로, 그들을 낮추면 그 하나가 올라간다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
2STEP 2
나머지 20명의 비용
20명이 각각 15,000달러씩이면 20 곱하기 15,000, 즉 300,000달러입니다.
20 × 15,000 = 300,000
15,000짜리 묶음 20개는 곱셈으로 빠르게 계산한 반복 덧셈일 뿐입니다.
5.NBT.B.5Analyze The Units3STEP 3
남는 돈이 한 선수의 몫
한도 700,000달러에서 300,000달러를 빼면 400,000달러가 남습니다. 정답은 (C)입니다.
700,000 - 300,000 = 400,000
다른 선수를 모두 채우고 남은 예산이 바로 한 선수가 가져갈 수 있는 금액입니다.
4.NBT.B.4Convert To Algebra정답
400,000
합을 확인합니다. 한 선수 400,000달러에 20명의 15,000달러를 더하면 400,000 + 300,000 = 700,000으로, 한도와 정확히 같고 넘지 않습니다. 모든 급여가 15,000달러 이상이므로 규칙을 모두 지킵니다. 보기 (E) 700,000달러는 나머지 20명에게 줄 돈이 하나도 남지 않아 각자 15,000달러가 필요한 조건을 어기므로 틀립니다.
💡핵심 정리
합에 한도가 있을 때, 다른 몫을 모두 최소로 줄이면 한 몫을 가장 크게 만들 수 있습니다.
- 나머지 선수를 최소로 낮추기
- 나머지 20명의 비용
- 남는 돈이 한 선수의 몫