경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2020B · #16

학년 5 logic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Forbidden-Complement Selection

symmetry-argumentinvariant-monovariantinterval-arithmetic symmetry-argumentpattern-recognition ↑ 선수 지식: symmetry-argumentparity

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

Bela 와 Jenn 이 실수 구간 [0, n] 위에서 번갈아 수를 고릅니다 (n 은 4 보다 큰 고정 정수). Bela 가 먼저 시작하며 첫 수는 [0, n] 안의 어떤 실수든 가능. 이후 매 수는 이전에 고른 모든 수들로부터 거리가 1 보다 커야 합니다. 더 이상 고를 수 없는 사람이 집니다. 최선의 전략으로 누가 이기는지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Bela will always win.

(B)

Jenn will always win.

(C)

Bela will win if and only if $n$ is odd.

(D)

Jenn will win if and only if $n$ is odd.

(E)

Jenn will win if and only if $n>8$.

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림): 수직선 위에 [0, n]을 그리면 중점 n/2에 대한 좌우 대칭이 곧바로 보입니다. 이 대칭이 핵심 — Bela 가 정중앙을 먼저 두면 Jenn 의 모든 수에 대해 그 거울상이 Bela 에게 남아 있습니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제): n = 5와 n = 6 같은 작은 경우를 수직선에서 직접 돌려보면 홀짝 상관없이 거울 전략이 통함을 확인. 도구 #3 (지우기): 선택지가 n 의 홀짝으로 갈리므로 홀수·짝수 한 번씩 Bela 가 이기면 (B), (C), (D), (E)가 모두 죽고 (A)만 남습니다.

1STEP 1

중점 표시하기

수직선에 [0, n]과 중점 m = $\frac{n}{2}$ 를 표시 — 구간은 m 에 대해 대칭이라 점 x 마다 거울 짝 n - x 가 있음.

거울(x) = n - x, x ∈ [0, n]

2STEP 2

중앙 먼저 잡기

Bela 의 전략: 정중앙 m = $\frac{n}{2}$ 를 먼저 두고, 이후 Jenn 의 수 x 마다 그 거울 n - x 로 답한다.

Bela 의 첫 수 = n/2; Jenn 의 x 에 대해 n - x

3STEP 3

대칭 수가 가능함 보이기

금지 영역이 m 에 대해 대칭이라 Jenn 의 새 수 x 의 거울 n - x 는 항상 합법 — x ≠ m 이라 간격 |n - 2x| ＞ 1.

|(n - x) - x| = |n - 2x| ＞ 1 (x ≠ n/2)

4STEP 4

항상 답할 수 있음 결론짓기

Jenn 에게 합법 수가 있으면 거울이 Bela 에게 합법 — 먼저 막힘. Bela 는 n ＞ 4 인 모든 n 에서 승, 홀짝 무관.

Jenn 이 둔다 → Bela 에게 거울 수가 있다 → Bela 가 먼저 막히지 않음

5STEP 5

작은 경우로 확인하기

작은 경우: n = 5는 Bela 가 2.5, n = 6은 3 — 둘 다 거울 답이 통해 홀짝 상관없이 Jenn 이 짐.

n = 5: 2.5 선택; n = 6: 3 선택

6STEP 6

나머지 선택지 지우기

n = 5 (홀수)와 n = 6 (짝수) 모두 Bela 승이니 홀짝에 걸린 (B), (C), (D), (E) 탈락 — (A) 만 남음.

n = 5 → Bela; n = 6 → Bela → (A)

정답

Bela가 항상 이긴다.

거울 전략은 좌우 대칭 판 위의 2인 게임에서 고전적인 논법이며, 선수에게 유리합니다 — 유일한 고정점인 중앙을 차지할 수 있기 때문입니다. (A) Bela 항상 승은 "먼저 두기 + 활용 가능한 대칭 = 필승" 이라는 직관과 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 5학년 때 배운 수직선 대칭만 알면 풀 수 있어요 — Bela 가 정중앙을 먼저 두고, 그 다음엔 Jenn 의 수를 중앙 기준으로 거울처럼 따라 둡니다. 구간이 대칭이라 Jenn 의 모든 합법 수에 거울 답이 있어 Jenn 이 항상 먼저 막혀요. 답은 (A).

중점 표시하기
중앙 먼저 잡기
대칭 수가 가능함 보이기
항상 답할 수 있음 결론짓기
작은 경우로 확인하기
나머지 선택지 지우기

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