AMC 10 · 2009 · #8

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

percentagefraction-arithmetic work-backwardsidentify-subproblems ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

웬(Wen) 가족의 세 세대가 영화를 보러 가는데, 각 세대에서 두 명씩이다. 가장 어린 세대의 두 사람은 어린이로서 $50$ % 할인을 받는다. 가장 나이 많은 세대의 두 사람은 경로 우대로 $25\%$ 할인을 받는다. 가운데 세대의 두 사람은 할인을 받지 않는다. 경로 우대 티켓 값이 $$6.00$인 웬 할아버지가 모두의 값을 낸다. 그가 내야 하는 금액은 몇 달러인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 34$

(B)

$\ 36$

(C)

$\ 42$

(D)

$\ 46$

(E)

$\ 48$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여섯 명이 영화를 보러 갑니다. 어린이 두 명, 가운데 세대 어른 두 명, 노인 두 명입니다. 어린이는 정가에서 50% 할인, 노인은 25% 할인을 받고, 가운데 세대는 정가를 그대로 냅니다. 노인 표 한 장은 $6.00입니다. 표 여섯 장의 총액을 구하세요.

주어진 것: 세 세대마다 두 명씩, 모두 여섯 장의 표가 필요합니다.; 어린이 표는 정가에서 50% 할인됩니다.; 노인 표는 정가에서 25% 할인됩니다.; 가운데 세대 표는 할인이 없습니다.; 노인 표 한 장은 $6.00입니다.

구하는 것: 정가(할인 전 표 가격).; 표 여섯 장에 대한 총 지불 금액.

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #8 단위 살펴보기

모든 가격은 숨어 있는 하나의 수, 곧 정가에 묶여 있습니다. 문제는 정가 대신 할인된 가격(노인의 $6.00)을 알려 주므로, 먼저 25% 할인을 거꾸로 되돌려 정가를 찾아냅니다. 정가를 알고 나면 각 세대의 표 값은 따로따로 푸는 작은 문제가 되고, 이를 더하면 총액이 나옵니다.

실행 — 정답: B

#11 거꾸로 풀기 6.RP.A.3 단계 1

정가 되찾기

25% 할인이란 노인이 정가의 나머지 75%를 낸다는 뜻입니다.
그래서 $6.00는 정가의 75%입니다. 0.75로 나누어 할인을 되돌리면 정가는 $8.00임을 알 수 있습니다.

$$0.75 \times R = 6.00 \;\Rightarrow\; R = \frac{6.00}{0.75} = 8.00$$

💡 $6가 가격의 4분의 3뿐이라면 전체 가격은 조금 더 커야 하고, 0.75로 나누면 그 값으로 되돌아갑니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 2

어린이 표 값 구하기

어린이는 50% 할인을 받으므로 정가 $8.00의 절반을 냅니다. 8의 절반은 4이므로 어린이 표 한 장은 $4.00입니다.

$$0.50 \times 8.00 = 4.00$$

💡 50% 할인은 곧 절반만 낸다는 뜻이고, 8의 절반은 4입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 3

가운데 세대 표 값 구하기

가운데 세대는 할인이 없으므로 각자 정가 $8.00를 그대로 냅니다.

$$1.00 \times 8.00 = 8.00$$

💡 할인이 없다는 것은 표 값이 정가 그대로라는 뜻입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

여섯 장을 모두 더하기

표 종류마다 두 장씩 있습니다.
어린이 두 장은 2 곱하기 $4.00 = $8.00, 가운데 세대 두 장은 2 곱하기 $8.00 = $16.00, 노인 두 장은 2 곱하기 $6.00 = $12.00입니다.
세 묶음을 더하면 8 + 16 + 12 = 36입니다.
웬 할아버지는 $36를 내야 하므로 답은 (B)입니다.

$$2(4) + 2(8) + 2(6) = 8 + 16 + 12 = 36$$

💡 표를 세대별로 묶고 각 값을 두 배 한 뒤 세 묶음을 더합니다.

[1] #11 6.RP.A.3 25% 할인이란 노인이 정가의 나머지 75%를 낸다는 뜻입니다. 그래서 $6.00는 정가의 75%입니다. 0.75로 나누어 할인을 되돌리면 정가

[2] #8 6.RP.A.3 어린이는 50% 할인을 받으므로 정가 $8.00의 절반을 냅니다. 8의 절반은 4이므로 어린이 표 한 장은 $4.00입니다.

[3] #8 6.RP.A.3 가운데 세대는 할인이 없으므로 각자 정가 $8.00를 그대로 냅니다.

[4] #7 4.OA.A.3 표 종류마다 두 장씩 있습니다. 어린이 두 장은 2 곱하기 $4.00 = $8.00, 가운데 세대 두 장은 2 곱하기 $8.00 = $16.00

검토

합리성 확인: 정가 $8인 표 여섯 장이면 최대 $48에 가깝고, 모든 할인이 총액을 그 아래로 끌어내리므로 총액 $36는 할인 없는 상한선 밑에 놓여 타당합니다. 보기 (E) 48은 할인이 전혀 없을 때의 총액이고, (A) 34는 가운데 두 장만 이미 $16임을 생각하면 너무 낮습니다. 정가 두 장, 4분의 3짜리 두 장, 절반짜리 두 장이면 $36가 딱 맞습니다.

대안 접근: 달러 대신 할인 비율을 더해 볼 수도 있습니다. 표 여섯 장은 R(1 + 1 + 0.75 + 0.75 + 0.5 + 0.5) = 4.5R가 됩니다. 노인 표가 0.75R = 6이므로 정가 R = 8이고, 4.5 곱하기 8 = 36입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (백분율 할인을 해석하고, 노인의 75% 가격에서 정가를 되찾고, 할인된 어린이 가격을 계산하는 데 사용합니다.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (각 세대의 가격을 두 배 하고 세 묶음을 더해 $36 총액을 얻는 데 사용합니다.)

⭐ 할인된 가격이 주어졌다면 먼저 할인을 되돌려 정가를 찾으세요. 그러면 나머지는 저절로 풀립니다.