AMC 10 · 2009 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremlinear-equations-one-var physical-representation ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

원래 높이가 $5$ 미터인 깃대가 있다. 허리케인이 지면에서 높이 $x$ 미터인 지점에서 깃대를 부러뜨렸고, 부러진 윗부분은 아래쪽 그루터기에 붙어 있는 채로 밑동에서 $1$ 미터 떨어진 지면에 닿았다. $x$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2.0

(B)

2.1

(C)

2.2

(D)

2.3

(E)

2.4

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 높이 $5$미터인 깃대가 땅에서 $x$미터 되는 지점에서 부러진다. 윗부분은 부러진 곳에 붙은 채로 넘어져, 그 끝이 밑동에서 $1$미터 떨어진 땅에 닿는다. 부러진 높이 $x$를 구하라.

주어진 것: 깃대의 처음 높이는 $5$미터이다.; 땅에서 $x$미터 되는 지점에서 부러져, 서 있는 밑동의 높이는 $x$이다.; 부러진 윗부분은 부러진 곳에 붙어 있으므로 그 길이는 $5-x$미터이다.; 부러진 부분의 끝은 밑동에서 $1$미터 떨어진 땅에 닿는다.; 선택지: (A) $2.0$, (B) $2.1$, (C) $2.2$, (D) $2.3$, (E) $2.4$.

구하는 것: 깃대가 부러진 높이 $x$ (단위: 미터).

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

문장 속에는 단순한 도형이 숨어 있다. 넘어진 부러진 깃대는 사실 직각삼각형이다. 도구 #1(그림 그리기)로 그 삼각형을 드러내고 세 변을 $x$로 나타낸다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 직각을 피타고라스 방정식으로 옮겨 풀면 $x$가 정해진다. 도구 #3(가능성 지우기)은 보조 수단이다. 모든 선택지가 깔끔한 소수이므로, 세 변은 정수 직각삼각형을 축소한 꼴이어야 하고, 이 사실만으로도 답을 가리킨다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 6.EE.B.6 단계 1

넘어진 깃대 그리기

서 있는 밑동은 위로 곧게 $x$미터 올라간다.
부러진 윗부분은 부러진 곳에서 땅까지 넘어져, 밑동에서 $1$미터 떨어진 곳에 닿는다.
깃대는 $5$미터였고 사라진 것이 없으므로, 부러진 윗부분의 길이는 $5-x$이다.
수직인 밑동과 수평인 땅은 직각으로 만나므로, 밑동과 $1$미터 땅 간격과 부러진 윗부분은 직각삼각형을 이룬다.
두 변(다리)은 $x$와 $1$이고, 비스듬한 부러진 윗부분이 빗변 $5-x$이다.

$$\text{밑동}=x,\quad \text{땅 간격}=1,\quad \text{부러진 윗부분}=5-x$$

💡 간단한 스케치 한 장이 부러진 깃대를 이미 다룰 줄 아는 평범한 직각삼각형으로 바꿔 준다.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.7 단계 2

피타고라스 정리 적용하기

직각삼각형에서는 두 변(다리)의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다.
두 변은 $x$와 $1$이고 빗변은 $5-x$이므로, 세 변의 길이는 $x^2 + 1^2 = (5-x)^2$을 만족해야 한다.

$$x^2 + 1^2 = (5-x)^2$$

💡 직각이 바로 $a^2+b^2=c^2$을 여는 열쇠여서, 세 변의 길이를 하나의 방정식으로 묶어 준다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 3

$x$ 구하기

오른쪽을 전개하면 $(5-x)^2 = 25 - 10x + x^2$이다.
방정식은 $x^2 + 1 = 25 - 10x + x^2$이 된다.
양변에 $x^2$이 있으므로 서로 지워지고, $1 = 25 - 10x$만 남는다.
따라서 $10x = 24$, $x = 2.4$이다.
이는 선택지 (E)이다.

$$x^2+1=25-10x+x^2\;\Rightarrow\;1=25-10x\;\Rightarrow\;10x=24\;\Rightarrow\;x=2.4\;\Rightarrow\;\textbf{(E)}$$

💡 빗변을 제곱하면 다리의 $x^2$과 똑같은 $x^2$이 다시 나와 서로 지워지고, 어려워 보이던 방정식이 한 번에 풀리는 일차식으로 줄어든다.

[1] #1 6.EE.B.6 서 있는 밑동은 위로 곧게 $x$미터 올라간다. 부러진 윗부분은 부러진 곳에서 땅까지 넘어져, 밑동에서 $1$미터 떨어진 곳에 닿는다. 깃대는

[2] #13 8.G.B.7 직각삼각형에서는 두 변(다리)의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다. 두 변은 $x$와 $1$이고 빗변은 $5-x$이므로, 세 변의 길이는 $x^2

[3] #13 8.EE.C.7 오른쪽을 전개하면 $(5-x)^2 = 25 - 10x + x^2$이다. 방정식은 $x^2 + 1 = 25 - 10x + x^2$이 된다. 양변에

검토

합리성 확인: $x=2.4$를 확인해 보자. 두 변은 $2.4$와 $1$, 부러진 윗부분은 $5-2.4=2.6$이다. 그러면 $2.4^2 + 1^2 = 5.76 + 1 = 6.76 = 2.6^2$이 되어 삼각형이 정확히 맞아떨어진다. 부러진 곳은 $5$미터 깃대의 한가운데보다 조금 아래에 있는데, 이는 자연스럽다. 윗부분($2.6$미터)이 넘어져 땅에 닿을 만큼 길어야 하므로 밑동보다 조금 더 길어야 한다.

대안 접근: 대수 계산을 건너뛰고 피타고라스 세 쌍을 알아챌 수도 있다. 세 변 $1$, $2.4$, $2.6$은 정수 세 쌍 $5$, $12$, $13$을 $5$로 나눈 것이다. 모든 선택지가 깔끔한 소수이므로 밑동, 간격, 부러진 윗부분은 정수 직각삼각형을 축소한 꼴이어야 한다. 짧은 변이 $1$미터 간격과 같은 $5$-$12$-$13$ 삼각형이면 밑동은 $2.4$로 정해진다 — 선택지 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 변수를 사용해 수를 나타내고 실생활 문제의 식을 세우기 (밑동을 $x$로 두고, 전체 길이 $5$에서 부러진 윗부분을 $5-x$로 나타내기.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용해 직각삼각형의 미지의 변 길이 구하기 (밑동, 땅 간격, 부러진 윗부분이 이루는 직각삼각형으로부터 $x^2 + 1^2 = (5-x)^2$ 세우기.)
8.EE.C.7 일차 방정식 풀기 ($x^2$ 항을 지우고 $1 = 25 - 10x$를 풀어 $x = 2.4$ 얻기.)

⭐ 키 큰 물체가 부러져 땅으로 넘어지면, 그것이 만드는 직각삼각형을 그려라 — 넘어진 조각이 빗변이고, 나머지는 피타고라스 정리가 해결해 준다.