AMC 10 · 2009 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremlinear-equations-one-var physical-representation ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

높이 5미터인 깃대가 땅에서 x미터 되는 지점에서 부러진다. 윗부분은 부러진 곳에 붙은 채로 넘어져, 그 끝이 밑동에서 1미터 떨어진 땅에 닿는다. 부러진 높이 x를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2.0

(B)

2.1

(C)

2.2

(D)

2.3

(E)

2.4

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문장 속에는 단순한 도형이 숨어 있다. 넘어진 부러진 깃대는 사실 직각삼각형이다. 도구 #1(그림 그리기)로 그 삼각형을 드러내고 세 변을 x로 나타낸다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 직각을 피타고라스 방정식으로 옮겨 풀면 x가 정해진다. 도구 #3(가능성 지우기)은 보조 수단이다. 모든 선택지가 깔끔한 소수이므로, 세 변은 정수 직각삼각형을 축소한 꼴이어야 하고, 이 사실만으로도 답을 가리킨다.

1STEP 1

넘어진 깃대 그리기

밑동은 x, 땅 간격은 1, 사라진 것이 없으니 넘어진 윗부분은 5-x, 이것이 빗변이다.

밑동=x, 땅 간격=1, 부러진 윗부분=5-x

2STEP 2

피타고라스 정리 적용하기

두 변이 x와 1, 빗변이 5-x이므로 피타고라스 정리로 x² + 1² = (5-x)²이 된다.

x² + 1² = (5-x)²

3STEP 3

x 구하기

전개하면 x² + 1 = 25 - 10x + x², x²이 지워져 10x = 24, 따라서 x = 2.4, 선택지 (E)이다.

x²+1=25-10x+x² → 1=25-10x → 10x=24 → x=2.4 → (E)

정답

2.4

x=2.4를 확인해 보자. 두 변은 2.4와 1, 부러진 윗부분은 5-2.4=2.6이다. 그러면 2.4² + 1² = 5.76 + 1 = 6.76 = 2.6²이 되어 삼각형이 정확히 맞아떨어진다. 부러진 곳은 5미터 깃대의 한가운데보다 조금 아래에 있는데, 이는 자연스럽다. 윗부분(2.6미터)이 넘어져 땅에 닿을 만큼 길어야 하므로 밑동보다 조금 더 길어야 한다.

💡핵심 정리

키 큰 물체가 부러져 땅으로 넘어지면, 그것이 만드는 직각삼각형을 그려라 — 넘어진 조각이 빗변이고, 나머지는 피타고라스 정리가 해결해 준다.

넘어진 깃대 그리기
피타고라스 정리 적용하기
x 구하기

넘어진 깃대 그리기

피타고라스 정리 적용하기

x 구하기

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