AMC 10 · 2010 · #1

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

mean-median-mode-rangefraction-arithmeticdecimal-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

메리의 책장 맨 위 칸에는 폭이 각각 $6$ , $\dfrac{1}{2}$ , $1$ , $2.5$ , $10$ 센티미터인 다섯 권의 책이 꽂혀 있다. 이 책들의 평균 폭은 몇 센티미터인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 1$

(B)

$\ 2$

(C)

$\ 3$

(D)

$\ 4$

(E)

$\ 5$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 책 다섯 권의 너비가 각각 $6$, $\dfrac{1}{2}$, $1$, $2.5$, $10$ 센티미터입니다. 너비의 평균을 구하세요.

주어진 것: 다섯 권의 너비(cm): $6$, $\dfrac{1}{2}$, $1$, $2.5$, $10$; 책은 모두 $5$ 권; 선택지(cm): (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 책 너비의 평균(cm)

이해

문제 재정리: 책 다섯 권의 너비가 각각 $6$, $\dfrac{1}{2}$, $1$, $2.5$, $10$ 센티미터입니다. 너비의 평균을 구하세요.

주어진 것: 다섯 권의 너비(cm): $6$, $\dfrac{1}{2}$, $1$, $2.5$, $10$; 책은 모두 $5$ 권; 선택지(cm): (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 평균은 사실 두 개의 작은 일 — 먼저 모든 너비를 더해 총합을 만들고, 그 총합을 책 개수로 나누면 됩니다. 도구 #15(다르게 정리하기): 너비에 분수와 소수가 섞여 있으니 $\tfrac{1}{2}$ 을 $0.5$ 로 바꿔 모두 소수로 맞추면 헷갈림 없이 더할 수 있어요. 도구 #3(가능성 지우기): 총합이 딱 나누어떨어지는지, 평균이 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 있는지 확인하면 정답 하나가 정해집니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.A.3 단계 1

"평균"의 뜻을 떠올립니다.
모든 너비를 더해 총합을 구한 뒤, 그 총합을 책 개수로 나눕니다.
그래서 문제는 더하기 단계와 나누기 단계로 쪼개집니다.

$$\text{평균} = \dfrac{\text{전체 너비}}{\text{책 개수}}$$

💡 평균은 모든 책의 너비가 똑같다면 그 하나의 값이 될 숫자예요.

#15 다르게 정리하기 5.NBT.B.7 단계 2

너비에 분수와 소수가 섞여 있습니다.
$\dfrac{1}{2}$ 을 $0.5$ 로 바꿔 다섯 수를 모두 소수로 만들면 깔끔하게 줄 맞춰 더할 수 있어요.

$$6,\ \tfrac{1}{2} = 0.5,\ 1,\ 2.5,\ 10$$

💡 모든 값을 같은 형태로 두면 더할 때 헷갈릴 일이 없습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.7 단계 3

다섯 너비를 더합니다.
쉬운 것부터 묶어서: $6 + 10 = 16$, 다음 $0.5 + 2.5 = 3$, 남은 $1$ 을 더하면 총합은 $16 + 3 + 1 = 20$ 센티미터.

$$6 + 0.5 + 1 + 2.5 + 10 = 20$$

💡 딱 떨어지는 수끼리 짝지으면 덧셈이 빠르고 실수도 줄어요.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 4

총합을 책 개수로 나눠 평균을 구합니다.
$20 \div 5 = 4$.
따라서 평균 너비는 $4$ 센티미터, 선택지 (D) 입니다.

$$\dfrac{20}{5} = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 총합을 다섯 권에 똑같이 나눠 주면 각자의 몫 — 그게 바로 평균.

#3 가능성 지우기 3.OA.C.7 단계 5

답을 확인합니다.
거꾸로 곱하면 $4 \times 5 = 20$ 으로 총합과 일치하니 나눗셈이 맞아요.
또 $4$ 는 가장 작은 너비 $0.5$ 와 가장 큰 너비 $10$ 사이에 있어, 평균이 놓일 자리에 정확히 들어갑니다.
나머지 선택지는 모두 제외됩니다.

$$4 \times 5 = 20 \checkmark,\quad 0.5 < 4 < 10$$

💡 올바른 평균은 거꾸로 곱하면 총합이 되고, 최솟값과 최댓값 사이에 있어야 해요.

[1] #7 6.SP.A.3 "평균"의 뜻을 떠올립니다. 모든 너비를 더해 총합을 구한 뒤, 그 총합을 책 개수로 나눕니다. 그래서 문제는 더하기 단계와 나누기 단계로 쪼개

[2] #15 5.NBT.B.7 너비에 분수와 소수가 섞여 있습니다. $\dfrac{1}{2}$ 을 $0.5$ 로 바꿔 다섯 수를 모두 소수로 만들면 깔끔하게 줄 맞춰 더할 수

[3] #7 5.NBT.B.7 다섯 너비를 더합니다. 쉬운 것부터 묶어서: $6 + 10 = 16$, 다음 $0.5 + 2.5 = 3$, 남은 $1$ 을 더하면 총합은 $16

[4] #7 6.SP.B.5 총합을 책 개수로 나눠 평균을 구합니다. $20 \div 5 = 4$. 따라서 평균 너비는 $4$ 센티미터, 선택지 (D) 입니다.

[5] #3 3.OA.C.7 답을 확인합니다. 거꾸로 곱하면 $4 \times 5 = 20$ 으로 총합과 일치하니 나눗셈이 맞아요. 또 $4$ 는 가장 작은 너비 $0.5$

검토

합리성 확인: 다섯 너비의 합은 $20$ cm 이고 $20 \div 5 = 4$, 거꾸로 $4 \times 5 = 20$ 으로 확인됩니다. 평균 $4$ 는 가장 작은 $0.5$ 와 가장 큰 $10$ 사이에 있어 평균이 있어야 할 자리에 놓입니다. (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$ 은 큰 값 $10$ 을 감당하기엔 너무 작고, (E) $5$ 는 총합이 $25$ 여야 하므로 너무 큽니다 — 오직 (D) $4$ 만 맞습니다.

대안 접근: 더한 뒤 나누는 대신 책을 평평하게 고른다고 생각해 보세요. $10$ 은 기준 $4$ 보다 $6$ 만큼 위, $6$ 은 $2$ 만큼 위 — 합쳐서 $+8$. $0.5$, $1$, $2.5$ 는 $4$ 보다 각각 $3.5 + 3 + 1.5 = 8$ 만큼 아래. 넘치는 $+8$ 과 모자라는 $-8$ 이 정확히 상쇄되니, 균형점 — 즉 평균 — 은 $4$ 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.A.3 중심 척도가 자료 전체를 하나의 수로 요약함을 이해 (평균을 다섯 너비 전체를 대신하는 하나의 수(합 ÷ 개수)로 이해.)
5.NBT.B.7 소수를 소수 둘째 자리까지 더하고 빼고 곱하고 나누기 ($\tfrac{1}{2}$ 을 $0.5$ 로 바꾸고 다섯 소수 너비를 더해 $20$ 을 구하기.)
6.SP.B.5 관측 수와 중심 척도를 보고해 수치 자료를 요약 (전체 너비 $20$ 을 책 $5$ 권으로 나눠 평균 만들기.)
3.OA.C.7 100 이내에서 능숙하게 곱하고 나누기 ($20 \div 5 = 4$ 계산과 $4 \times 5 = 20$ 확인.)

⭐ 평균은 전부 더한 다음 개수만큼 똑같이 나누면 돼요: $20$ cm 를 책 $5$ 권에 나누면 한 권당 $4$ cm 예요.

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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