AMC 10 · 2010 · #2

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

ratio-proportionarea-rectangleslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이 네 개의 합동인 정사각형과 한 개의 직사각형을 붙여서 하나의 큰 정사각형을 만들었다. 이 직사각형의 긴 변의 길이는 짧은 변의 길이의 몇 배인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \dfrac{5}{4}$

(B)

$\ \dfrac{4}{3}$

(C)

$\ \dfrac{3}{2}$

(D)

$\ 2$

(E)

$\ 3$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 똑같은 작은 정사각형 네 개와 직사각형 하나를 빈틈이나 겹침 없이 맞춰 하나의 큰 정사각형을 만든다. 그림을 이용해, 직사각형의 길이가 너비의 몇 배인지 구한다.

주어진 것: 똑같은(같은 크기) 정사각형이 네 개 있다.; 직사각형은 정확히 하나 있다.; 이 다섯 조각이 모두 맞춰져 하나의 큰 정사각형을 이룬다.; 그림에서 네 정사각형은 위쪽에 한 줄로 나란히 놓여 큰 정사각형의 가로 전체를 채운다.

구하는 것: (직사각형의 길이) 나누기 (직사각형의 너비)의 값.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

그림에는 수가 하나도 없으므로 작은 정사각형의 한 변을 $s$로 둔다. $s$를 정하고 나면 큰 정사각형의 한 변과 직사각형의 두 변이 모두 $s$의 간단한 배수가 되고, 물어보는 비교는 그 배수들의 비로 바뀐다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

작은 정사각형의 한 변에 이름 붙이기

작은 정사각형 한 개의 한 변을 $s$라 하자.
네 정사각형은 똑같으므로 모두 한 변이 $s$다.

s = \text{작은 정사각형 한 변}

💡 수가 주어지지 않을 때, 글자 하나를 정하면 모든 길이를 공통의 한 조각에 맞춰 잴 수 있다.

#1 그림 그리기 1.G.A.2 단계 2

네 정사각형에서 큰 정사각형 읽어내기

그림에서 네 정사각형은 위쪽 가장자리에 한 줄로 놓여, 함께 큰 정사각형의 가로 끝까지 닿는다.
길이 $s$인 변 네 개가 한 줄로 이어지면 길이가 $4s$가 되므로, 큰 정사각형의 한 변은 $4s$다.

$$4 \times s = 4s$$

💡 똑같은 정사각형 네 개를 한 줄로 놓으면 한 정사각형 변의 네 배만큼 늘어난다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.6 단계 3

직사각형의 길이와 너비 구하기

직사각형은 그 위쪽 줄 아래의 나머지를 모두 채운다.
큰 정사각형의 가로 전체에 걸치므로 길이는 $4s$다.
높이는 큰 정사각형의 한 변에서 정사각형 한 줄 높이를 뺀 것이다: $4s - s = 3s$, 이것이 직사각형의 너비다.

\text{길이} = 4s, \quad \text{너비} = 4s - s = 3s

💡 직사각형은 큰 정사각형에서 위쪽 정사각형 줄을 떼어낸 나머지를 차지한다.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.1 단계 4

길이와 너비 비교하기

"몇 배"는 길이를 너비로 나누는 것을 뜻한다: $\dfrac{4s}{3s}=\dfrac{4}{3}$.
$s$가 약분되므로, 직사각형의 길이는 너비의 $\dfrac{4}{3}$배다.
이는 보기 (B)이다.

$$\dfrac{4s}{3s} = \dfrac{4}{3}$$

💡 두 길이를 비로 비교하면 공통 단위가 사라지고 그 비율만 남는다.

[1] #4 6.EE.B.6 작은 정사각형 한 개의 한 변을 $s$라 하자. 네 정사각형은 똑같으므로 모두 한 변이 $s$다.

[2] #1 1.G.A.2 그림에서 네 정사각형은 위쪽 가장자리에 한 줄로 놓여, 함께 큰 정사각형의 가로 끝까지 닿는다. 길이 $s$인 변 네 개가 한 줄로 이어지면 길

[3] #7 6.EE.B.6 직사각형은 그 위쪽 줄 아래의 나머지를 모두 채운다. 큰 정사각형의 가로 전체에 걸치므로 길이는 $4s$다. 높이는 큰 정사각형의 한 변에서 정

[4] #4 6.RP.A.1 "몇 배"는 길이를 너비로 나누는 것을 뜻한다: $\dfrac{4s}{3s}=\dfrac{4}{3}$. $s$가 약분되므로, 직사각형의 길이는

검토

합리성 확인: 그림에서 직사각형은 높이보다 가로가 조금 더 넓으므로, 길이는 너비보다 두 배나 세 배가 아니라 조금 더 커야 한다. $\dfrac{4}{3}\approx1.33$은 이 완만한 늘어남과 맞고, $2$나 $3$ 같은 보기는 직사각형을 실제보다 훨씬 납작하게 만든다. 따라서 (B)가 타당하다.

대안 접근: 구체적인 수를 쓰자. $s=1$로 두면 각 작은 정사각형은 $1\times1$, 큰 정사각형은 $4\times4$다. 위쪽 줄이 단위 정사각형 네 개를 담고, 남는 직사각형은 가로 $4$, 세로 $3$이다. 그러면 $4\div3=\dfrac{4}{3}$로 글자 없이도 (B)를 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 식을 세워 문제 해결하기 (작은 정사각형의 한 변을 $s$로 두고, 큰 정사각형의 한 변($4s$)과 직사각형의 두 변($4s$, $3s$)을 $s$에 대한 식으로 쓰기.)
1.G.A.2 평면도형이나 입체도형을 합쳐 새 도형 만들기 (한 줄로 놓인 네 정사각형이 위쪽 가장자리 전체를 이루므로, 큰 정사각형의 한 변이 작은 정사각형 변의 네 배임을 알아내기.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 언어로 표현하기 ("몇 배"를 길이 대 너비의 비로 해석하고 $4s:3s$를 $4/3$로 간단히 하기.)

⭐ 작은 정사각형에 $s$ 같은 이름을 붙이면, 그림 속 다른 모든 길이가 그것의 쉬운 배수가 된다.