AMC 10 · 2010 · #9

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

place-valuedigit-sumsystematic-enumeration bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: place-value

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$83438$ 과 같은 $\text{palindrome}$ (회문수)은 각 자리 숫자를 거꾸로 나열해도 원래와 같은 수를 말한다. 수 $x$ 와 $x+32$ 가 각각 세 자리 회문수와 네 자리 회문수이다. $x$ 의 각 자리 숫자의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 회문수는 $83438$처럼 자릿수를 거꾸로 읽어도 똑같은 수이다. 어떤 수 $x$는 세 자리 회문수이고, $x+32$는 네 자리 회문수이다. $x$의 각 자리 숫자의 합을 구하여라.

주어진 것: $x$는 세 자리 회문수이다.; $x+32$는 네 자리 회문수이다.; 회문수는 자릿수를 거꾸로 읽어도 변하지 않는다.

구하는 것: $x$의 값, 그리고 그 각 자리 숫자의 합.

이해

주어진 것: $x$는 세 자리 회문수이다.; $x+32$는 네 자리 회문수이다.; 회문수는 자릿수를 거꾸로 읽어도 변하지 않는다.

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #3 가능성 지우기, #6 추측하고 확인하기

핵심은 자릿수가 늘어나는 지점이다. $32$만 더했는데 세 자리 수가 네 자리가 되려면 $x$는 세 자리 수의 맨 위쪽에 있어야 한다. 이 경계를 못 박으면 후보가 큰 회문수 몇 개로 줄고, 그다음에는 각각에 $32$를 더해 거꾸로 읽어도 같은지 직접 확인하면 된다.

실행 — 정답: E

#14 극단의 원리 4.NBT.A.2 단계 1

x를 맨 위쪽으로 몰기

$x+32$가 네 자리가 되려면 적어도 $1000$ 이상이어야 한다.
따라서 $x+32\ge 1000$이고, 이는 $x\ge 968$을 뜻한다.
$x$는 세 자리 수이므로 $968$과 $999$ 사이에 있다.

$$x+32\ge 1000 \Rightarrow x\ge 968$$

💡 작은 $+32$로 네 자리를 넘으려면 $x$가 이미 $1000$에 거의 가까워야 한다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 2

그 구간의 회문수 나열

세 자리 회문수는 첫 자리와 끝 자리가 같은 꼴이다.
$968$과 $999$ 사이에서 거꾸로 읽어도 같은 수는 $969$, $979$, $989$, $999$이다.
이 넷이 $x$의 유일한 후보이다.

$$969,\ 979,\ 989,\ 999$$

💡 이 구간에서는 첫 자리와 끝 자리가 같은 수만 회문수이다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.4 단계 3

32를 더해 각각 확인

각 후보에 $32$를 더해 결과가 회문수인지 확인한다.
$969+32=1001$은 거꾸로 읽어도 같다.
$979+32=1011$, $989+32=1021$, $999+32=1031$은 회문수가 아니다.
오직 $x=969$만 조건을 만족한다.

$$969+32=1001,\quad 979+32=1011,\quad 989+32=1021,\quad 999+32=1031$$

💡 남은 몇 개만 넣어 보면 대칭인 네 자리 수가 되는 것은 하나뿐이다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.4 단계 4

x의 각 자리 숫자 더하기

$x=969$이므로 각 자리 숫자를 더한다: $9+6+9=24$.
따라서 $x$의 각 자리 숫자의 합은 $24$이고, 이는 보기 (E)이다.

$$9+6+9=24$$

💡 묻는 것은 자릿수의 합이니, 찾은 수의 세 숫자를 더하기만 하면 된다.

[1] #14 4.NBT.A.2 $x+32$가 네 자리가 되려면 적어도 $1000$ 이상이어야 한다. 따라서 $x+32\ge 1000$이고, 이는 $x\ge 968$을 뜻한다.

[2] #3 4.NBT.A.2 세 자리 회문수는 첫 자리와 끝 자리가 같은 꼴이다. $968$과 $999$ 사이에서 거꾸로 읽어도 같은 수는 $969$, $979$, $989

[3] #6 4.NBT.B.4 각 후보에 $32$를 더해 결과가 회문수인지 확인한다. $969+32=1001$은 거꾸로 읽어도 같다. $979+32=1011$, $989+32

[4] #6 4.NBT.B.4 $x=969$이므로 각 자리 숫자를 더한다: $9+6+9=24$. 따라서 $x$의 각 자리 숫자의 합은 $24$이고, 이는 보기 (E)이다.

검토

합리성 확인: 찾은 수를 모든 조건에 맞춰 본다. $969$는 세 자리 회문수이고 $969+32=1001$은 네 자리 회문수이므로 두 조건이 모두 성립한다. 자릿수 합 $24$는 가장 큰 보기인데, $x$가 $999$에 가깝게 몰려 숫자가 크기 때문에 자연스럽다. 보기 중 (E)만 가능하다.

대안 접근: 네 자리 쪽에서 거꾸로 생각한다. 가장 작은 네 자리 회문수는 $1001$이고, $x=1001-32=969$는 이미 세 자리 회문수이므로 더 큰 네 자리 회문수는 필요 없다. 이렇게 하면 $x=969$가 바로 나와 자릿수 합은 $24$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.A.2 자릿값을 이용해 여러 자리 수를 읽고 쓰고 비교하기 (자릿값으로 $x\ge 968$임을 파악하고, $968$과 $999$ 사이에서 어떤 수가 회문수인지 가려내기.)
4.NBT.B.4 여러 자리 수를 능숙하게 더하고 빼기 (각 후보에 $32$를 더해 확인하고, 자릿수 $9+6+9$를 더해 $24$를 구하기.)

⭐ 작은 덧셈이 수를 더 많은 자릿수로 밀어 올린다면, 시작한 수는 바로 그 경계에 딱 붙어 있으니 거기부터 찾아라.