AMC 10 · 2011 · #2

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Unit Conversion Chain

multi-digit-arithmeticestimationmultiples bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

작은 샴푸 병에는 샴푸를 $35$ 밀리리터까지 담을 수 있고, 큰 샴푸 병에는 $500$ 밀리리터까지 담을 수 있다. 재스민은 큰 병 하나를 가득 채우는 데 필요한 최소한의 작은 병을 사려고 한다. 재스민은 작은 병을 몇 개 사야 하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 작은 샴푸 통은 $35$ ml, 큰 통은 $500$ ml 를 담습니다. 재스민이 작은 통들을 모아 큰 통을 완전히 가득 채우려면 최소 몇 개를 사야 하는지 구하세요.

주어진 것: 작은 통 용량: $35$ ml; 큰 통 용량: $500$ ml; 보기: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$

구하는 것: 총 부피가 $500$ ml 이상이 되게 하는 작은 통의 최소 개수

이해

주어진 것: 작은 통 용량: $35$ ml; 큰 통 용량: $500$ ml; 보기: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #6 추측하고 확인하기

문제는 통의 최소 개수를 묻고, 함정은 바로 경계에 숨어 있어요. $500$ 을 $35$ 로 나누면 약 $14.3$ 이 나오는데, 이 값이 두 보기 사이에 놓입니다. 도구 #14(극단의 원리)는 바로 이 최소/최대 관점이에요 — 총량을 $500$ ml 이상으로 처음 밀어 올리는 가장 작은 통의 개수를 찾습니다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 계산을 정확히 관리합니다: 통 하나가 $35$ ml 를 더하니 $n$ 개면 $35n$ ml 이고, 이를 $500$ ml 과 비교하죠. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 이웃한 두 개수 $14$ 와 $15$ 를 직접 넣어 경계를 확인합니다.

실행 — 정답: E

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 1

"완전히 채운다"가 요구하는 바를 적습니다.
작은 통 하나가 $35$ ml 를 부으니 $n$ 개면 $35 \times n$ ml 를 붓습니다.
큰 통을 채우려면 이 총량이 적어도 $500$ ml 에 닿아야 합니다.

$$35 \times n \ge 500$$

💡 목표는 샴푸가 $500$ ml 전부를 처음으로 덮는 가장 작은 통의 개수예요.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.6 단계 2

통 하나가 주는 $35$ ml 로 $500$ ml 를 나눠 몇 통이 온전히 들어가는지 봅니다.
$35 \times 14 = 490$, $35 \times 15 = 525$ 이므로 몫은 $14$ 이고 나머지가 생깁니다.

$$500 \div 35 = 14 \text{ 나머지 } 10, \quad \text{왜냐하면 } 500 = 35 \times 14 + 10$$

💡 나눗셈은 $35$ ml 짜리가 $500$ ml 안에 몇 번 온전히 들어가는지 알려주고, $10$ ml 가 덮이지 않고 남아요.

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 3

그 나머지를 해석합니다.
$14$ 통이면 $490$ ml 뿐이라 $10$ ml 가 모자라고, 큰 통은 아직 가득 차지 않습니다.
남은 $10$ ml 를 덮으려면 통이 하나 더 필요하므로 개수를 $15$ 로 올립니다.

$$14 \text{ 통} \rightarrow 490 \text{ ml} < 500 \text{ ml}, \quad \text{그래서 } 15 \text{ 통으로 올림}$$

💡 나머지가 $0$ 이 아니면 항상 통이 하나 더 필요해요. 조금이라도 덜 채우면 통은 여전히 비어 있으니까요.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.5 단계 4

경계의 두 개수를 직접 확인합니다.
$14$ 통은 $490$ ml 라 부족하고, $15$ 통은 $525$ ml 라 $500$ ml 를 채웁니다($25$ ml 여유).
따라서 조건을 만족하는 최소 개수는 $15$ 통입니다.

$$14 \times 35 = 490 < 500, \quad 15 \times 35 = 525 \ge 500 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}\ 15$$

💡 $14$ 와 $15$ 를 넣어 보면 경계가 정확히 잡혀요. $15$ 가 $500$ ml 에 닿는 첫 개수입니다.

[1] #14 4.OA.A.3 "완전히 채운다"가 요구하는 바를 적습니다. 작은 통 하나가 $35$ ml 를 부으니 $n$ 개면 $35 \times n$ ml 를 붓습니다.

[2] #8 5.NBT.B.6 통 하나가 주는 $35$ ml 로 $500$ ml 를 나눠 몇 통이 온전히 들어가는지 봅니다. $35 \times 14 = 490$, $35 \

[3] #14 4.OA.A.3 그 나머지를 해석합니다. $14$ 통이면 $490$ ml 뿐이라 $10$ ml 가 모자라고, 큰 통은 아직 가득 차지 않습니다. 남은 $10$

[4] #6 4.NBT.B.5 경계의 두 개수를 직접 확인합니다. $14$ 통은 $490$ ml 라 부족하고, $15$ 통은 $525$ ml 라 $500$ ml 를 채웁니다(

검토

합리성 확인: 어림하면 $500 \div 35 \approx 14.3$ 이라 답은 $14$ 바로 위여야 합니다. 보기 $(D)\ 14$ 와 $(E)\ 15$ 가 두 후보이고, $14$ 는 내림한 사람을 노린 함정이에요. $14$ 통은 $490$ ml 로 $10$ ml 모자라 통이 가득 차지 않으니, 조건을 만족하는 최소 개수는 $15$ 입니다. 이는 $\textbf{(E)}$ 와 일치합니다.

대안 접근: 나머지 해석을 건너뛰고 이웃한 두 보기를 그냥 곱해 봐도 됩니다(도구 #6, 추측하고 확인하기): $14 \times 35 = 490$ ml 는 부족하고 $15 \times 35 = 525$ ml 는 충분합니다. $500$ ml 에 처음 닿는 개수가 $15$ 이므로 $\textbf{(E)}$ 가 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.B.6 네 자리 이하의 피제수와 두 자리 제수를 가진 자연수 나눗셈의 몫 구하기 ($500$ 을 두 자리 제수 $35$ 로 나눠 몫 $14$ 와 나머지 $10$ 을 구하는 데 사용.)
4.OA.A.3 나머지를 해석해야 하는 문제를 포함한 여러 단계 문장제 풀기 (문제를 "적어도 $500$ ml 에 닿기"로 읽고 나머지 $10$ 을 해석해 개수를 $14$ 에서 $15$ 로 올리는 데 사용.)
4.NBT.B.5 네 자리 이하의 자연수와 한 자리 자연수의 곱셈 ($14 \times 35 = 490$, $15 \times 35 = 525$ 를 확인해 $15$ 가 $500$ ml 를 채우는 최소 개수임을 검증하는 데 사용.)

⭐ 실생활 나눗셈에 나머지가 남으면 올림하세요 — $14$ 통은 $10$ ml 모자라니, 큰 통을 진짜로 채우려면 $15$ 번째 통이 필요합니다.

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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