AMC 10 · 2013 · #2

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Unit Conversion Chain

fraction-arithmeticfraction-multiplicationratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

앨리스는 쿠키 한 판을 만들고 있는데 설탕 $2\frac{1}{2}$ 컵이 필요하다. 그런데 안타깝게도 그녀의 계량컵은 설탕을 $\frac{1}{4}$ 컵밖에 담지 못한다. 정확한 양의 설탕을 얻으려면 계량컵을 몇 번 가득 채워야 하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 앨리스는 설탕 $2\frac{1}{2}$컵이 필요하지만, 가진 계량컵은 $\frac{1}{4}$컵밖에 담기지 않는다. 이 $\frac{1}{4}$컵짜리 계량컵을 몇 번 가득 채워야 정확히 $2\frac{1}{2}$컵이 되는지 구하라.

주어진 것: 필요한 설탕의 총량은 $2\frac{1}{2}$컵이다; 계량컵을 한 번 채우면 정확히 $\frac{1}{4}$컵이 담긴다; 선택지: (A) $8$, (B) $10$, (C) $12$, (D) $16$, (E) $20$

구하는 것: $2\frac{1}{2}$컵을 채우는 데 필요한 $\frac{1}{4}$컵 채우기의 횟수

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

단위를 따라가면 어떤 계산을 해야 하는지 분명해진다. 총량의 단위는 컵이고, 한 번 채우는 양의 단위는 컵/번이므로, 컵 $\div$ 컵/번을 하면 순수한 횟수만 남는다. 그래서 이 문제는 사실 $2\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$, 즉 "$2\frac{1}{2}$컵 안에 $\frac{1}{4}$컵이 몇 개 들어가는가"이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 $2\frac{1}{2}$을 두 개의 온전한 컵과 남은 반 컵으로 나눠 세기를 쉽게 해 준다. 도구 #3(가능성 지우기)은 온전한 두 컵만 세고 반 컵을 빠뜨린 함정 답 $8$을 걸러낸다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 5.NF.B.7 단계 1

횟수를 나눗셈으로 세우기

한 번 채울 때마다 $\frac{1}{4}$컵씩 같은 양이 쌓이므로, 채우는 횟수는 총량을 한 번의 양으로 나눈 값이다.
단위로 확인해 보면 컵 $\div$ $\frac{\text{컵}}{\text{번}}$은 번(횟수)만 남긴다.
따라서 답은 $2\frac{1}{2}$컵 안에 $\frac{1}{4}$컵이 몇 개 들어가느냐이다.

$$\text{채우는 횟수} = 2\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$$

💡 총량을 한 숟갈의 크기로 나누면 몇 숟갈이 필요한지 나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.B.3 단계 2

총량을 $\frac{1}{4}$컵 단위로 쪼개기

$\frac{1}{4}$컵을 단위로 세어 보자.
온전한 한 컵은 $\frac{1}{4}$컵 네 개이므로, 온전한 $2$컵은 $2 \times 4 = 8$개이다.
남은 $\frac{1}{2}$컵은 $\frac{2}{4}$, 즉 $\frac{1}{4}$컵 $2$개이다.
그러므로 $2\frac{1}{2}$컵은 모두 $8 + 2 = 10$개의 $\frac{1}{4}$컵으로 이루어져 있다.

$$2\frac{1}{2} = \frac{10}{4} = \underbrace{\tfrac14 + \tfrac14 + \cdots + \tfrac14}_{10\ \text{개}}$$

💡 한 컵에는 $\frac{1}{4}$컵이 네 개 들어가므로, 4분의 1 단위로 세는 것은 그 조각의 개수를 세는 것과 같다.

#3 가능성 지우기 5.NF.B.7 단계 3

채우는 횟수 읽어내기

$2\frac{1}{2}$컵은 정확히 $\frac{1}{4}$컵 $10$개이므로, 계량컵을 $10$번 채우면 딱 맞는 양이 된다: $2\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = 10$.
함정 답 $8$은 온전한 두 컵만 세고 반 컵을 빠뜨려서 너무 작다.
올바른 횟수는 $\textbf{(B)}\ 10$이다.

$$2\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{10}{4} \div \frac{1}{4} = 10 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $\frac{1}{4}$컵 열 개가 총량을 이루면, 채우는 횟수도 열 번이다.

[1] #8 5.NF.B.7 한 번 채울 때마다 $\frac{1}{4}$컵씩 같은 양이 쌓이므로, 채우는 횟수는 총량을 한 번의 양으로 나눈 값이다. 단위로 확인해 보면 컵

[2] #7 4.NF.B.3 $\frac{1}{4}$컵을 단위로 세어 보자. 온전한 한 컵은 $\frac{1}{4}$컵 네 개이므로, 온전한 $2$컵은 $2 \times 4

[3] #3 5.NF.B.7 $2\frac{1}{2}$컵은 정확히 $\frac{1}{4}$컵 $10$개이므로, 계량컵을 $10$번 채우면 딱 맞는 양이 된다: $2\frac

검토

합리성 확인: 총량 $2\frac{1}{2}$컵은 $2$컵보다 조금 많고, $2$컵만으로도 이미 $2 \times 4 = 8$번이 필요하므로 답은 $8$보다 조금 커야 한다 — $10$이 바로 그렇다. 게다가 딱 맞아떨어진다: $10 \times \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = 2\frac{1}{2}$컵으로 반올림이 필요 없다. 반 컵을 빼먹은 $8$은 너무 작고, 계량컵이 $\frac{1}{8}$컵인 것처럼 센 $20$은 너무 크므로 $10$이 합당하다.

대안 접근: 분수 대신 소수로 확인해 보자. 계량컵은 $0.25$컵을 담고 앨리스는 $2.5$컵이 필요하므로, 채우는 횟수는 $2.5 \div 0.25 = 10$이다. 분수로 센 결과와 일치하며 선택지 (B)를 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NF.B.7 실생활 문제에서 단위분수가 포함된 나눗셈 다루기 (문제를 $2\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$ (총량 안에 $\frac{1}{4}$컵이 몇 개 들어가는가)로 읽고, 몫 $10$을 계산하는 데 사용.)
4.NF.B.3 분수를 단위분수의 합으로 이해하기 ($2\frac{1}{2}$컵을 $\frac{1}{4}$컵 열 개(온전한 컵에서 $8$개, 반 컵에서 $2$개)로 다시 쓰는 데 사용.)

⭐ 작은 숟갈로 총량을 몇 번 채우는지 알려면 총량을 한 숟갈로 나누면 된다 — 여기서 $2\frac{1}{2}$컵은 정확히 $\frac{1}{4}$컵 열 숟갈이다.