AMC 10 · 2011 · #20

학년 7 geometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityarc-measureequilateral-triangle symmetry-argumenteasier-related-problem ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반지름이 $r$ 인 원의 둘레 위에서 두 점을 서로 독립적으로 무작위로 고른다. 각 점에서 시계 방향으로 길이가 $r$ 인 현을 하나씩 그린다. 이 두 현이 서로 만날 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{5}$

(C)

$\frac{1}{4}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 r인 원 위에 두 점을 서로 독립적으로 무작위로 찍는다. 각 점에서 시계 방향으로 길이가 r인 현을 하나씩 긋는다. 이 두 현이 서로 교차할 확률을 구하여라.

주어진 것: 반지름이 r인 원.; 원 위에서 서로 독립적으로 균등하게 무작위로 고른 두 점.; 각 점에서 시계 방향으로 길이가 r인 현을 긋는다.

구하는 것: 두 현이 교차할 확률.

이해

주어진 것: 반지름이 r인 원.; 원 위에서 서로 독립적으로 균등하게 무작위로 고른 두 점.; 각 점에서 시계 방향으로 길이가 r인 현을 긋는다.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #4 변수 도입하기

그림이 핵심이다. 원을 그려 보면 길이 r인 현이 60도 호를 잘라낸다는 사실과 교차 조건이 눈에 보인다. 대칭성으로 첫 번째 점을 고정하면 무작위 점 두 개짜리 문제가 균등한 무작위 점 하나짜리 문제로 바뀌고, 두 번째 점의 각도에 변수를 두면 언제 현이 교차하는지 정확히 잴 수 있다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

반지름과 같은 현은 60도 호를 자른다

길이 r인 현을 긋고 그 양 끝점을 중심과 이어 보자.
이은 두 선분은 길이 r인 반지름이고 현도 길이가 r이므로, 삼각형의 세 변이 모두 같아 정삼각형이 된다.
정삼각형의 모든 각은 60도이므로 중심에서의 중심각은 60도이다.
따라서 길이 r인 각 현은 60도 호를 잘라낸다.

\text{현}=r,\ \text{두 반지름}=r\ \Rightarrow\ \triangle\ \text{정삼각형}\ \Rightarrow\ \text{중심각}=\text{호}=60^\circ

💡 세 변이 같으면 세 각도 같고, 삼각형에서 같은 세 각은 각각 60도이다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 2

대칭성으로 첫 번째 점을 고정하기

두 점을 같은 방식으로 무작위로 고르므로, 그림 전체를 돌려서 첫 번째 점을 고정된 자리에 둘 수 있다.
그 시계 방향 현은 자기 바로 시계 방향에 있는 60도 호를 덮는다.
이제 중요한 것은 이 고정된 그림에 대한 두 번째 점의 상대적 위치뿐이며, 그 위치는 여전히 원을 따라 균등하다.

P(\text{교차})\ \text{는 두 번째 점의 상대 각도에만 의존}

💡 원을 돌려도 교차 여부는 바뀌지 않으니 한 점은 공짜로 고정할 수 있다.

#4 변수 도입하기 4.MD.C.6 단계 3

끝점에 각도 이름 붙이기

첫 번째 점을 0도에 둔다.
그 시계 방향 현은 시계 방향으로 60도 떨어진 300도에서 끝나므로, 현 A의 끝점은 0도와 300도이다.
두 번째 점을 같은 방식으로 잰 각도 b에 둔다.
그 시계 방향 현의 끝점은 b와 b에서 60도 뺀 자리이다.

$$A:\{0^\circ,\ 300^\circ\},\qquad B:\{b,\ b-60^\circ\},\quad 0^\circ\le b<360^\circ$$

💡 각 끝점을 각도 위치로 이름 붙이면 도형 문제를 잴 수 있는 문제로 바꾼다.

#1 그림 그리기 4.MD.C.7 단계 4

끝점이 번갈아 놓일 때 현이 교차한다

원의 두 현은 네 끝점이 원을 따라 번갈아 놓일 때에만 내부에서 교차한다.
즉 현 B의 한 끝점이 현 A의 60도 틈(300도에서 360도까지의 호) 안에 들어가고 다른 끝점은 그 밖에 있어야 한다.
끝점 b는 b가 300도와 360도 사이일 때 그 틈에 들어가고, 끝점 b 빼기 60도는 b가 0도와 60도 사이일 때 들어간다.
각 경우는 60도 구간이고 두 구간은 겹치지 않으므로, 교차에 유리한 위치는 모두 120도이다.

b\in(300^\circ,360^\circ)\ \text{또는}\ b\in(0^\circ,60^\circ)\ \Rightarrow\ 60^\circ+60^\circ=120^\circ

💡 교차하려면 B의 끝점 중 정확히 하나가 A의 짧은 60도 틈 안에 들어가야 한다.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 5

유리한 호를 확률로 바꾸기

두 번째 점은 전체 360도에 걸쳐 균등하므로, 확률은 유리한 크기를 원 전체로 나눈 값이다.
즉 360도 중 120도이고, 이것을 약분하면 3분의 1이다.
따라서 두 현이 교차할 확률은 1/3이며, 답은 (D)이다.

$$P=\dfrac{120^\circ}{360^\circ}=\dfrac{1}{3}$$

💡 균등한 점에서 확률은 유리한 호가 원 전체에서 차지하는 비율일 뿐이다.

[1] #1 4.G.A.2 길이 r인 현을 긋고 그 양 끝점을 중심과 이어 보자. 이은 두 선분은 길이 r인 반지름이고 현도 길이가 r이므로, 삼각형의 세 변이 모두 같아

[2] #9 7.SP.C.7 두 점을 같은 방식으로 무작위로 고르므로, 그림 전체를 돌려서 첫 번째 점을 고정된 자리에 둘 수 있다. 그 시계 방향 현은 자기 바로 시계 방

[3] #4 4.MD.C.6 첫 번째 점을 0도에 둔다. 그 시계 방향 현은 시계 방향으로 60도 떨어진 300도에서 끝나므로, 현 A의 끝점은 0도와 300도이다. 두 번

[4] #1 4.MD.C.7 원의 두 현은 네 끝점이 원을 따라 번갈아 놓일 때에만 내부에서 교차한다. 즉 현 B의 한 끝점이 현 A의 60도 틈(300도에서 360도까지의

[5] #4 6.RP.A.3 두 번째 점은 전체 360도에 걸쳐 균등하므로, 확률은 유리한 크기를 원 전체로 나눈 값이다. 즉 360도 중 120도이고, 이것을 약분하면 3

검토

합리성 확인: 결과 1/3은 모든 확률처럼 0과 1 사이에 있다. 크기 면에서도 말이 된다. 각 현은 짧은 60도 호만 막으므로 교차는 가능하지만 흔하지는 않고, 360도 중 60도짜리 창 두 개로 3분의 1이 나오는 것은 이 예상과 맞는다. 이는 선택지 (D)와 일치한다.

대안 접근: 각도에 이름을 붙이는 대신 고정점 정육각형 그림을 바로 쓸 수도 있다. 첫 번째 점의 현을 기준으로, 두 번째 점이 양옆의 각 60도 호 안, 총 120도 안에 들어갈 때에만 교차가 생긴다. 120을 360으로 나누면 다시 1/3이 되어 답을 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.G.A.2 성질에 따라 평면도형 분류하기 (세 변이 같으면 각이 60도인 정삼각형임을 알아보기.)
7.SP.C.7 균등 확률 모형을 세워 사건의 확률 구하기 (원의 대칭성을 이용해 무작위 두 점을 균등한 무작위 한 점으로 줄이기.)
4.MD.C.6 각을 정수 도(度) 단위로 재기 (각 점과 현의 끝점에 각도 위치를 부여하기.)
4.MD.C.7 각의 크기가 더해짐을 이해하기 (유리한 60도 구간 두 개를 더해 120도를 얻기.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 문제 해결하기 (유리한 120도 호를 확률 120/360 = 1/3로 바꾸기.)

⭐ 반지름만큼 긴 현은 항상 60도 호를 자르므로, 두 현은 두 번째 점이 두 개의 60도 창 중 하나에 들어갈 때만 교차한다. 360도 중 120도, 즉 세 번에 한 번꼴이다.