AMC 10 · 2012 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlesequilateral-trianglecircular-sectortangent-circles complementary-counting ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 2인 세 원이 서로 접해 있다. 그림과 같이 이 세 원과 그 원들로 둘러싸인 영역을 합한 전체 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$10\pi+4\sqrt{3}$

(B)

$13\pi-\sqrt{3}$

(C)

$12\pi+\sqrt{3}$

(D)

$10\pi+9$

(E)

$13\pi$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $2$인 원 세 개가 서로 맞닿아 있다. 그림에는 세 원 전체와, 세 원 사이에 갇힌 가운데 곡선 영역이 함께 색칠되어 있다. 색칠된 전체 넓이, 즉 세 원과 가운데 영역을 합한 넓이를 구하라.

주어진 것: 원이 $3$개 있고, 각각 반지름이 $2$이다; 세 원은 서로 접한다 (각 원이 나머지 두 원과 한 점에서 맞닿는다); 색칠된 도형은 세 원 전체와 그 사이 곡선 영역을 합한 것이다; 보기: (A) $10\pi+4\sqrt{3}$, (B) $13\pi-\sqrt{3}$, (C) $12\pi+\sqrt{3}$, (D) $10\pi+9$, (E) $13\pi$

구하는 것: 세 원과 가운데 곡선 영역을 합한 전체 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기

곡선 도형에는 단일 넓이 공식이 없으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 잴 수 있는 두 부분, 즉 원 세 개와 가운데 곡선 조각으로 나눈다. 도구 #1(그림 그리기)은 숨은 선을 더한다 — 세 중심을 이으면 정삼각형이 생겨 가운데 조각을 확정할 수 있다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 그 조각을, 곡선 영역을 직접 적분하는 대신 삼각형 넓이에서 안으로 들어온 원의 부채꼴을 빼는 방식으로 처리한다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 1

원과 가운데 조각으로 나누기

색칠된 전체 도형은 서로 다른 두 부분의 합이다: 세 원 전체와, 그 사이에 갇힌 작은 곡선 영역.
각각의 넓이를 따로 구한 뒤 더한다.
이렇게 하면 낯선 곡선 도형 하나가 이미 아는 두 개의 작은 문제로 바뀐다.

$$\text{전체}=\text{(원 }3\text{개 넓이)}+\text{(가운데 조각 넓이)}$$

💡 공식이 없는 도형도 아는 조각들로 자르면 쉬워진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

세 원 넓이 더하기

각 원의 반지름은 $2$이므로 넓이는 $\pi r^2=\pi\cdot2^2=4\pi$이다.
똑같은 원이 세 개이므로 합치면 $3\times4\pi=12\pi$이다.
접한다고 넓이가 달라지지는 않는다 — 접하는 원들은 한 점에서만 만나 넓이가 겹치지 않는다.

$$3\cdot\pi(2)^2=3\cdot4\pi=12\pi$$

💡 세 원은 겹치지 않고 닿기만 하므로 한 원 넓이의 세 배다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 3

삼각형으로 가운데 틀 잡기

세 중심을 잇는 숨은 선분을 그린다.
원끼리 접하므로 두 중심 사이 거리는 $2+2=4$이고, 이 선분들은 한 변이 $4$인 정삼각형을 이룬다.
넓이를 구하려고 높이를 내리면, 밑변 $4$가 $2$씩 반으로 나뉘고 피타고라스 정리로 높이는 $\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$이다.
따라서 삼각형 넓이는 $\tfrac12\cdot4\cdot2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$이다.

$$h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3},\quad A_{\triangle}=\tfrac12\cdot4\cdot2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$

💡 접하는 중심들을 이으면 정삼각형이 되고, 높이는 피타고라스 정리에서 바로 나온다.

#16 관점 바꾸기 7.G.B.4 단계 4

원의 부채꼴 빼기

이 삼각형이 곧 가운데 조각은 아니다: 각 꼭짓점에서 원의 조각이 삼각형 안으로 들어와 있다.
정삼각형의 각 꼭짓각은 $60^\circ$이므로 각 조각은 $60^\circ$ 부채꼴이다.
세 개를 더하면 $60^\circ\times3=180^\circ$, 즉 정확히 원의 절반이다.
반지름 $2$인 원의 절반 넓이는 $\tfrac12\cdot4\pi=2\pi$이다.
가운데 조각은 삼각형에서 이 부채꼴들을 뺀 것이다: $4\sqrt{3}-2\pi$.

$$\text{조각}=4\sqrt{3}-\tfrac12\pi(2)^2=4\sqrt{3}-2\pi$$

💡 $60^\circ$ 꼭짓각 세 개가 곧게 $180^\circ$가 되니, 안으로 들어온 조각은 정확히 반원이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 5

두 부분 합치기

세 원과 가운데 조각을 더한다: $12\pi+(4\sqrt{3}-2\pi)$.
$\pi$ 항을 모으면 $12\pi-2\pi=10\pi$이고 $4\sqrt{3}$은 그대로 둔다.
전체는 $10\pi+4\sqrt{3}$, 즉 보기 (A)이다.

$$12\pi+(4\sqrt{3}-2\pi)=10\pi+4\sqrt{3}\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 잰 조각들을 다시 합치면 전체 도형의 넓이가 된다.

[1] #7 7.G.B.6 색칠된 전체 도형은 서로 다른 두 부분의 합이다: 세 원 전체와, 그 사이에 갇힌 작은 곡선 영역. 각각의 넓이를 따로 구한 뒤 더한다. 이렇게

[2] #7 7.G.B.4 각 원의 반지름은 $2$이므로 넓이는 $\pi r^2=\pi\cdot2^2=4\pi$이다. 똑같은 원이 세 개이므로 합치면 $3\times4\p

[3] #1 8.G.B.7 세 중심을 잇는 숨은 선분을 그린다. 원끼리 접하므로 두 중심 사이 거리는 $2+2=4$이고, 이 선분들은 한 변이 $4$인 정삼각형을 이룬다.

[4] #16 7.G.B.4 이 삼각형이 곧 가운데 조각은 아니다: 각 꼭짓점에서 원의 조각이 삼각형 안으로 들어와 있다. 정삼각형의 각 꼭짓각은 $60^\circ$이므로

[5] #7 7.G.B.6 세 원과 가운데 조각을 더한다: $12\pi+(4\sqrt{3}-2\pi)$. $\pi$ 항을 모으면 $12\pi-2\pi=10\pi$이고 $4

검토

합리성 확인: 답은 세 원만의 넓이($12\pi$)보다 조금 커야 하지만 가운데 조각은 작다 — 그 값은 $4\sqrt{3}-2\pi\approx6.93-6.28\approx0.65$로 얇은 조각이라, 전체는 $12\pi\approx37.7$보다 아주 조금 위여야 한다. 보기 (A)는 $10\pi+4\sqrt{3}\approx31.4+6.9\approx38.3$으로 잘 맞는다. 부채꼴 빼는 것을 잊는 함정을 조심하라: 그러면 $12\pi+4\sqrt{3}$이 되어 (보기 C의 $+\sqrt{3}$도 비슷한 미끼) 넓이를 더 세게 된다. 겹치는 반원 $2\pi$를 빼는 것이 $12\pi$를 $10\pi$로 바꾼다.

대안 접근: 세 원에서 각 원의 $60^\circ$ 조각을 안쪽으로 접어 틈을 메우고 삼각형을 더한다고 생각하자. 세 개의 $60^\circ$ 조각은 합쳐 반원 $=2\pi$이다. 원들이 $12\pi$, 정삼각형이 $4\sqrt{3}$을 주지만 이 조각들은 (삼각형 안에서) 두 번이 아니라 한 번만 세어져야 하므로 $2\pi$를 빼면 $12\pi+4\sqrt{3}-2\pi=10\pi+4\sqrt{3}$, 역시 (A)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 (각 원의 넓이 $\pi(2)^2=4\pi$와 부채꼴 반원 $2\pi$를 계산하는 데 사용.)
7.G.B.6 넓이, 겉넓이, 부피가 얽힌 문제 해결하기 (색칠 도형을 원들과 가운데 조각으로 나누고 다시 합치는 데 사용.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 변의 길이 구하기 (정삼각형의 높이 $2\sqrt{3}$을 구해 넓이 $4\sqrt{3}$을 얻는 데 사용.)

⭐ 이상한 도형을 세 원과 가운데 조각으로 자르면, 그 조각은 가운데 삼각형에서 반원을 뺀 것일 뿐이다.