경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2012B · #16

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
area-circlesequilateral-trianglecircular-sectortangent-circles complementary-counting ↑ 선수 지식: area-circles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
반지름이 2인 원 세 개가 서로 맞닿아 있다. 그림에는 세 원 전체와, 세 원 사이에 갇힌 가운데 곡선 영역이 함께 색칠되어 있다. 색칠된 전체 넓이, 즉 세 원과 가운데 영역을 합한 넓이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$10\pi+4\sqrt{3}$
(B)
$13\pi-\sqrt{3}$
(C)
$12\pi+\sqrt{3}$
(D)
$10\pi+9$
(E)
$13\pi$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

곡선 도형에는 단일 넓이 공식이 없으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 잴 수 있는 두 부분, 즉 원 세 개와 가운데 곡선 조각으로 나눈다. 도구 #1(그림 그리기)은 숨은 선을 더한다 — 세 중심을 이으면 정삼각형이 생겨 가운데 조각을 확정할 수 있다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 그 조각을, 곡선 영역을 직접 적분하는 대신 삼각형 넓이에서 안으로 들어온 원의 부채꼴을 빼는 방식으로 처리한다.

1STEP 1

원과 가운데 조각으로 나누기

색칠된 도형은 세 원 전체와 그 사이에 갇힌 곡선 조각, 두 부분의 합이다.

전체=(원 3개 넓이)+(가운데 조각 넓이)
2STEP 2

세 원 넓이 더하기

각 원의 넓이는 π·2²=4π이고, 접하는 원은 한 점에서만 만나 겹치지 않으므로 셋을 합하면 12π이다.

3·π(2)²=3·4π=12π
3STEP 3

삼각형으로 가운데 틀 잡기

세 중심을 이으면 한 변이 4인 정삼각형이 되고, 높이는 2√(3), 넓이는 4√(3)이다.

h=√(4²-2²)=2√(3), A_△=1/2·4·2√(3)=4√(3)
4STEP 4

원의 부채꼴 빼기

꼭짓점마다 60° 부채꼴이 들어와 셋이 180°, 곧 넓이 2π인 반원이니 조각은 4√(3)-2π이다.

조각=4√(3)-1/2π(2)²=4√(3)-2π
5STEP 5

두 부분 합치기

두 부분을 더하면 12π+(4√(3)-2π), π 항이 10π가 되어 전체는 10π+4√(3), 즉 보기 (A)이다.

12π+(4√(3)-2π)=10π+4√(3) → (A)
정답
10π+4√(3)
답은 세 원만의 넓이(12π)보다 조금 커야 하지만 가운데 조각은 작다 — 그 값은 4√(3)-2π≈6.93-6.28≈0.65로 얇은 조각이라, 전체는 12π≈37.7보다 아주 조금 위여야 한다. 보기 (A)는 10π+4√(3)≈31.4+6.9≈38.3으로 잘 맞는다. 부채꼴 빼는 것을 잊는 함정을 조심하라: 그러면 12π+4√(3)이 되어 (보기 C의 +√(3)도 비슷한 미끼) 넓이를 더 세게 된다. 겹치는 반원 2π를 빼는 것이 12π를 10π로 바꾼다.
💡핵심 정리

이상한 도형을 세 원과 가운데 조각으로 자르면, 그 조각은 가운데 삼각형에서 반원을 뺀 것일 뿐이다.

  • 원과 가운데 조각으로 나누기
  • 세 원 넓이 더하기
  • 삼각형으로 가운데 틀 잡기
  • 원의 부채꼴 빼기
  • 두 부분 합치기

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