AMC 10 · 2012 · #18

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Attribute Table: Fill or Optimize a Cell

conditional-probabilityprobability-basic easier-related-problem ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 집단에서 500명 중 1명이 특정 질병을 가지고 있으며, 이 질병은 아무런 증상을 보이지 않는다고 하자. 이 질병을 선별하기 위한 혈액 검사가 있다. 이 질병을 가진 사람의 경우 검사는 항상 양성으로 나온다. 그러나 이 질병이 없는 사람의 경우 $2\%$ 의 위양성률이 있다. 즉, 그런 사람들에 대해 $98\%$ 의 경우 검사는 음성으로 나오지만, $2\%$ 의 경우 검사가 양성으로 나와 그 사람이 질병을 가지고 있다고 잘못 나타낸다. 이 집단에서 무작위로 선택된 사람이 양성 검사 결과를 받았을 때 실제로 이 질병을 가지고 있을 확률을 $p$ 라 하자. 다음 중 $p$ 에 가장 가까운 것은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{98}$

(B)

$\frac{1}{9}$

(C)

$\frac{1}{11}$

(D)

$\frac{49}{99}$

(E)

$\frac{98}{99}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 인구 집단에서 $500$명 중 $1$명이 증상이 없는 병에 걸려 있다. 병에 걸린 사람은 검사가 항상 양성으로 나오고, 병에 걸리지 않은 사람도 $2\%$의 확률로 양성이 나온다. 양성 판정을 받은 사람 중에서 실제로 병에 걸린 사람의 비율을 구하고, 그 값에 가장 가까운 보기를 고른다.

주어진 것: $500$명 중 $1$명이 병에 걸려 있다; 병에 걸린 사람은 항상 양성으로 나온다; 병에 걸리지 않은 사람은 $2\%$의 확률로 양성으로 나온다 (거짓 양성); 보기: (A) $\frac{1}{98}$, (B) $\frac{1}{9}$, (C) $\frac{1}{11}$, (D) $\frac{49}{99}$, (E) $\frac{98}{99}$

구하는 것: 양성 판정을 받은 사람이 실제로 병에 걸렸을 확률 $p$

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

퍼센트와 "$500$명 중 $1$명"을 확률 그대로 다루기는 까다롭다. 그래서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 $50{,}000$명이라는 구체적인 집단을 세워 모든 확률을 사람 수로 바꾼다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 양성을 두 갈래 — 실제로 병에 걸린 사람과 건강하지만 잘못 걸러진 사람 — 로 나눠 각각 센다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리다: 정확한 분수를 다섯 보기와 비교해 가장 가까운 값을 고른다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 1

구체적인 집단을 정하기

확률을 그대로 쫓는 대신 구체적인 인구를 상상한다.
$500$의 배수인 $50{,}000$명을 고르면 "$500$명 중 $1$명"과 "$2\%$"가 모두 정수로 떨어진다.

$$N = 50{,}000 \text{ 명}$$

💡 집단 크기를 고정하면 흐릿한 확률이 셀 수 있는 사람 수로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 2

참 양성 세기

$500$명 중 $1$명이 병에 걸렸으므로 병에 걸린 사람은 $50{,}000 \div 500 = 100$명이다.
이들은 모두 양성으로 나오므로 참 양성은 $100$명이다.

$$\dfrac{50{,}000}{500} = 100 \text{ 명의 참 양성}$$

💡 병에 걸린 사람은 검사를 절대 빠져나가지 않으므로 그 수가 곧 우리가 찾는 양성이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 3

거짓 양성 세기

나머지 $50{,}000 - 100 = 49{,}900$명은 건강하고, 그중 $2\%$가 실수로 양성으로 나온다.
즉 $0.02 \times 49{,}900 = 998$명의 거짓 양성이 생긴다.

$$0.02 \times 49{,}900 = 998 \text{ 명의 거짓 양성}$$

💡 오류율이 작아도 건강한 무리가 워낙 커서 많은 사람이 걸려든다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 4

양성 중 병에 걸린 비율 만들기

양성으로 나온 사람은 모두 실제로 병에 걸렸거나 잘못 걸러진 사람이다: 전체 양성은 $100 + 998 = 1098$명이다.
실제로 병에 걸린 비율은 $p = \dfrac{100}{1098}$이다.

$$p = \dfrac{100}{100 + 998} = \dfrac{100}{1098} \approx 0.091$$

💡 $p$는 전체 양성 더미에 견준 병에 걸린 조각일 뿐이다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 5

가장 가까운 보기 찾기

이제 $0.091$을 보기와 비교한다.
$\frac{1}{11} \approx 0.0909$이고 $\frac{1}{9} \approx 0.111$, $\frac{1}{98} \approx 0.010$이므로 가장 가까운 값은 $\frac{1}{11}$이다.
따라서 답은 (C)이다.

$$\dfrac{100}{1098} \approx 0.091 \approx \dfrac{1}{11} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 분수를 소수로 바꾸면 가장 가까운 보기가 한눈에 보인다.

[1] #9 7.SP.C.7 확률을 그대로 쫓는 대신 구체적인 인구를 상상한다. $500$의 배수인 $50{,}000$명을 고르면 "$500$명 중 $1$명"과 "$2\%$

[2] #7 7.RP.A.3 $500$명 중 $1$명이 병에 걸렸으므로 병에 걸린 사람은 $50{,}000 \div 500 = 100$명이다. 이들은 모두 양성으로 나오므로

[3] #7 7.RP.A.3 나머지 $50{,}000 - 100 = 49{,}900$명은 건강하고, 그중 $2\%$가 실수로 양성으로 나온다. 즉 $0.02 \times 4

[4] #7 6.RP.A.3 양성으로 나온 사람은 모두 실제로 병에 걸렸거나 잘못 걸러진 사람이다: 전체 양성은 $100 + 998 = 1098$명이다. 실제로 병에 걸린

[5] #3 6.RP.A.3 이제 $0.091$을 보기와 비교한다. $\frac{1}{11} \approx 0.0909$이고 $\frac{1}{9} \approx 0.111

검토

합리성 확인: 결과는 타당하다: 검사가 병에 걸린 사람을 절대 놓치지 않아도, 병에 걸린 사람이 $500$명 중 $1$명으로 매우 드물어서 큰 건강한 무리에 대한 작은 $2\%$ 오류가 참 양성보다 거의 열 배 많은 거짓 경보를 만든다. 그래서 양성 판정을 받아도 실제로 병에 걸렸을 확률은 약 $11$분의 $1$로, 반반보다 훨씬 낮다. 이는 (D) $\frac{49}{99}$와 (E) $\frac{98}{99}$를 배제한다. $0.091$은 $\frac{1}{9} \approx 0.111$보다 $\frac{1}{11} \approx 0.0909$에 훨씬 가까우므로 (C)가 확인된다.

대안 접근: $500$명이라는 깔끔한 한 묶음으로 계산할 수도 있다. 정확히 $1$명이 병에 걸려 양성으로 나오고, 나머지 $499$명은 건강해서 $0.02 \times 499 = 9.98$명의 거짓 양성을 낸다. 그러면 $p = \dfrac{1}{1 + 9.98} = \dfrac{1}{10.98} \approx 0.091$로, 역시 $\frac{1}{11}$에 가장 가까워 (C)와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모델을 세워 사건의 확률을 구하기 (각 확률을 셀 수 있는 사람 무리로 바꾸기 위해 $50{,}000$명이라는 구체적 집단으로 상황을 모델링함.)
7.RP.A.3 비례 관계로 여러 단계의 비율·퍼센트 문제 풀기 ("$500$명 중 $1$명"에서 병에 걸린 $100$명을, "$49{,}900$명의 $2\%$"에서 거짓 양성 $998$명을 구함.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 풀기 ($p = \frac{100}{1098}$을 만들고 소수로 바꿔 보기와 비교함.)

⭐ 확률을 실제 사람 무리로 바꾸고 참 양성과 거짓 양성을 따로 센 다음, $p$는 참 양성을 전체 양성으로 나눈 값일 뿐이다.