경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2012B · #18

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Attribute Table: Fill or Optimize a Cell

conditional-probabilityprobability-basic easier-related-problem ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 인구 집단에서 500명 중 1명이 증상이 없는 병에 걸려 있다. 병에 걸린 사람은 검사가 항상 양성으로 나오고, 병에 걸리지 않은 사람도 2%의 확률로 양성이 나온다. 양성 판정을 받은 사람 중에서 실제로 병에 걸린 사람의 비율을 구하고, 그 값에 가장 가까운 보기를 고른다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{98}$

(B)

$\frac{1}{9}$

(C)

$\frac{1}{11}$

(D)

$\frac{49}{99}$

(E)

$\frac{98}{99}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

퍼센트와 "500명 중 1명"을 확률 그대로 다루기는 까다롭다. 그래서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 50,000명이라는 구체적인 집단을 세워 모든 확률을 사람 수로 바꾼다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 양성을 두 갈래 — 실제로 병에 걸린 사람과 건강하지만 잘못 걸러진 사람 — 로 나눠 각각 센다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리다: 정확한 분수를 다섯 보기와 비교해 가장 가까운 값을 고른다.

1STEP 1

구체적인 집단을 정하기

확률을 그대로 쫓는 대신 500의 배수인 50,000명 집단을 상상하면 모든 수가 정수로 떨어진다.

N = 50,000 명

2STEP 2

참 양성 세기

500명 중 1명이 병에 걸렸으므로 50,000 ÷ 500 = 100명이 환자이고, 이들은 모두 양성으로 나온다.

50,000/500 = 100 명의 참 양성

3STEP 3

거짓 양성 세기

나머지 49,900명은 건강하지만 그중 2%가 잘못 양성이 되어 998명의 거짓 양성이 생긴다.

0.02 × 49,900 = 998 명의 거짓 양성

4STEP 4

양성 중 병에 걸린 비율 만들기

양성은 참 양성이거나 거짓 양성이므로 모두 100 + 998 = 1098명이고, 병에 걸린 비율은 $\frac{100}{1098}$ 이다.

p = 100/(100 + 998) = 100/1098 ≈ 0.091

5STEP 5

가장 가까운 보기 찾기

이 값은 약 0.091이고, $\frac{1}{9}$ ≈ 0.111보다 $\frac{1}{11}$ ≈ 0.0909에 훨씬 가까우므로 답은 (C)이다.

100/1098 ≈ 0.091 ≈ 1/11 → (C)

정답

1/11

결과는 타당하다: 검사가 병에 걸린 사람을 절대 놓치지 않아도, 병에 걸린 사람이 500명 중 1명으로 매우 드물어서 큰 건강한 무리에 대한 작은 2% 오류가 참 양성보다 거의 열 배 많은 거짓 경보를 만든다. 그래서 양성 판정을 받아도 실제로 병에 걸렸을 확률은 약 11분의 1로, 반반보다 훨씬 낮다. 이는 (D) 49/99와 (E) 98/99를 배제한다. 0.091은 1/9 ≈ 0.111보다 1/11 ≈ 0.0909에 훨씬 가까우므로 (C)가 확인된다.

💡핵심 정리

확률을 실제 사람 무리로 바꾸고 참 양성과 거짓 양성을 따로 센 다음, p는 참 양성을 전체 양성으로 나눈 값일 뿐이다.

구체적인 집단을 정하기
참 양성 세기
거짓 양성 세기
양성 중 병에 걸린 비율 만들기
가장 가까운 보기 찾기

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구체적인 집단을 정하기

참 양성 세기

거짓 양성 세기

양성 중 병에 걸린 비율 만들기

가장 가까운 보기 찾기

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