경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2010 · #20
학년 7 countinglogic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
둘 다 라는 신호어가 곧장 도구 #12(벤 다이어그램)를 가리킵니다 — 장갑 원과 모자 원을 그리면 답은 두 원의 교집합에 들어 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 두 단계로 나눕니다 — 먼저 합법적인 최소 방 인원을 정하고(LCM 문제), 그 방 안에서 교집합을 셉니다. 도구 #11(극단적 경우 살펴보기)은 "최소" 라는 단어의 정확한 의미입니다 — 두 원을 방이 허락하는 만큼 최대로 멀리 떨어뜨려서 "장갑만" 과 "모자만" 으로 자리를 먼저 채우고, 남는 만큼만 교집합으로 밀어 넣습니다.
가능한 가장 작은 전체 수 구하기
두 비율이 모두 자연수가 되는 최소 방 인원 — 5와 4의 최소공배수는 20 입니다.
"먼저 방 크기로 어떤 수가 허용되는지" 만 떼어 내는 게 도구 #7의 동작이고, 그 답을 주는 게 6학년 정수론의 최소공배수(LCM)입니다.
6.NS.B.4Identify Subproblems장갑과 모자 수 세기
20 명일 때 장갑 = × 20 = 8, 모자 = × 20 = 15 입니다.
"전체의 몇 분의 몇" 을 곱셈으로 바꾸는 것은 5학년 분수 문장제 기술이며, 두 원에 각각 따로 적용합니다.
5.NF.B.6Identify Subproblems벤 다이어그램 그리기
장갑 원(8)과 모자 원(15)을 그리고 교집합을 x 로 두면 네 영역의 합은 20 입니다.
도구 #12는 "둘 다" 를 가운데 라벨이 있는 영역으로 바꿔 주고, 네 영역과 방 전체를 잇는 식 한 줄을 쓸 수 있게 해 줍니다.
7.EE.B.3Draw A Venn Diagram극단적인 경우 따지기
겹침을 최소화하려면 "둘 다 아님" = 0으로: 23 - x = 20, 따라서 x = 3 명이 둘 다 착용해야 합니다.
"가능한 한 작게" = 다른 영역을 극단까지 늘려 보기 — 정확히 도구 #11입니다. 대수적으로는 포함-배제 항등식 |G ∩ H| = |G| + |H| - |G ∪ H| 를 |G ∪ H| 가 최대일 때 푸는 것과 같습니다.
모자와 장갑을 모두 착용한 사람의 수는 장갑 낀 사람의 수에 모자 쓴 사람의 수를 더한 뒤 방 전체 인원 수를 뺀 값보다 작을 수 없다.
▸ 왜?
장갑 낀 사람의 수와 모자 쓴 사람의 수를 더하면 둘 다 착용한 사람이 두 번 세어지므로, 그 합은 적어도 하나를 착용한 사람의 수에 겹치는 인원 한 벌을 더한 것과 같다.
▸ 왜?
장갑 낀 사람들은 겹침 없이 장갑만 낀 사람과 둘 다 착용한 사람으로 나뉘고, 모자 쓴 사람들도 모자만 쓴 사람과 둘 다 착용한 사람으로 나뉘므로, 두 그룹 크기를 더하면 장갑만은 한 번, 모자만은 한 번, 둘 다 착용한 사람은 두 번 세어진다.
▸ 왜?
적어도 하나를 착용한 사람의 수는 방 인원을 넘어설 수 없는데, 아무것도 착용하지 않은 사람과 합치면 정확히 20명의 방을 빈틈없이 채워 그 이상은 되지 않기 때문이다.
▸ 왜?
'장갑 낀 사람 더하기 모자 쓴 사람은 (적어도 하나를 착용한 사람) 더하기 겹치는 인원'을 겹치는 인원에 대해 정리하는 것은 뺄셈으로 덧셈을 되돌리는 것이므로, 겹치는 인원은 적어도 하나를 착용한 사람의 수가 가장 클 때, 즉 그들이 방 전체를 채울 때 가장 작아진다.
선택지와 맞춰 보기
강제 최소값은 (A)와 일치하고, 20의 배수로 방을 키워도 모든 영역이 같은 배수로 커져 x = 3 을 이길 수 없습니다.
방을 두 배(T = 40)로 키워도 모든 영역이 두 배가 되어 20 짜리 방의 최소값을 이길 수 없다는 확인이 도구 #11의 "정말 극단에 닿았는가" 후속 점검입니다.
6.NS.B.4Work Backwards벤 다이어그램만 그리면 "둘 다" 의 최소값은 (장갑) + (모자) - (방 전체) — 5학년 분수와 6학년 LCM 위에 7학년의 여러 단계 추론을 한 번만 얹으면 끝나요.
- 가능한 가장 작은 전체 수 구하기
- 장갑과 모자 수 세기
- 벤 다이어그램 그리기
- 극단적인 경우 따지기
- 선택지와 맞춰 보기
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