경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2012B · #25
학년 7 counting
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"경로가 몇 개인가"를 묻고 있으므로 목표는 겹치거나 빠짐없이 세는 것이다(도구 #2, 빠짐없이 나열하기). 먼저 그림을 방향 그래프로 다시 그려 규칙을 기계적으로 만든다: 점은 꼭짓점, 대각선은 양방향 변, 가로 화살표는 일방통행 변이다(도구 #1, 그림 그리기). 어려움은 전부 가운데 선 위의 왼쪽 방향 역방향 화살표 세 개에 있으므로, 모든 경로를 그 역방향 화살표를 몇 개 쓰는지(0, 1, 2, 3)로 나눈다(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기; 도구 #16, 관점 바꾸기). 그러면 각 경우는 깔끔한 순방향 세기가 되고, 네 경우를 더하면 된다.
격자를 그래프로 다시 그리기
점은 꼭짓점, 대각선은 양방향 변, 가로 화살표는 일방통행 변. 왼쪽을 향하는 화살표는 가운데 선의 3개뿐이다.
복잡한 그림을 '양방향 선'과 '일방통행 선'으로 바꾸면 이동 규칙을 변 하나하나 확인할 수 있다.
5.G.A.2Draw A Diagram역방향 화살표가 전부다
벌레가 거슬러 갈 길은 역방향 화살표 3개뿐. 경로를 그 사용 개수 0, 1, 2, 3으로 나눈다.
거슬러 가는 화살표라는 껄끄러운 하나의 특징이 전부를 좌우하므로, 그것을 중심으로 세는 것이 가장 깔끔하다.
7.SP.C.8Identify Subproblems경우 0: 역방향 화살표를 안 씀
역방향을 빼고 세로 화살표 묶음마다 선택을 곱하면 순방향 경로는 1024개다.
한 점에 이르는 경우의 수는 앞 점들의 수를 더한 것이므로, 격자를 한 번 조심스럽게 훑으면 순방향 경로가 한꺼번에 세어진다.
7.SP.C.8Make A Systematic List경우 1, 2, 3: 역방향 화살표를 씀
역방향을 쓰면 가운데 선을 다시 못 지나 우회로가 고정된다: 하나면 1024개, 둘이면 320개, 셋이면 32개.
벌레가 한 번 뒤로 가기로 하면 변을 다시 못 쓰는 규칙이 나머지 경로 대부분을 강제하므로, 각 역방향 화살표는 셀 수 있는 제한된 우회로만 더한다.
4.OA.A.3Make A Systematic List네 경우를 더하기
겹치지 않고 전부를 덮으니 그냥 더한다: 1024 + 1024 + 320 + 32 = 2400, 즉 (E).
겹치지 않으면서 전부를 덮는 경우들은 그냥 더하면 되고, 중복도 누락도 없다.
겹치지 않으면서 모든 것을 덮는 경우는 그냥 더해지며, 겹쳐 세거나 빠뜨리는 것이 없다.
▸ 왜?
서로 다른 경우는 공유하는 길이 없으므로, 개수를 곧바로 더할 수 있다.
▸ 왜?
그 경우들이 합쳐 가능한 모든 길을 이루므로, 그 합이 전체 개수다.
미로를 일방통행과 양방향 길로 다시 그리고, 말썽을 일으키는 뒤로 가는 화살표가 셋뿐임을 알아챈 뒤, 그것을 몇 개 쓰는지로 경로를 나눠 더한다: 1024+1024+320+32=2400.
- 격자를 그래프로 다시 그리기
- 역방향 화살표가 전부다
- 경우 0: 역방향 화살표를 안 씀
- 경우 1, 2, 3: 역방향 화살표를 씀
- 네 경우를 더하기
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.