AMC 10 · 2013 · #8

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Unit Conversion Chain

rateweighted-average dimensional-analysiseasier-related-problem ↑ 선수 지식: rate

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

레이의 차는 휘발유 $1$ 갤런당 평균 $40$ 마일을 달리고, 톰의 차는 휘발유 $1$ 갤런당 평균 $10$ 마일을 달린다. 레이와 톰은 각각 같은 거리(마일)를 달린다. 두 차를 합쳤을 때 휘발유 $1$ 갤런당 달리는 평균 거리(마일)는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 자동차가 같은 거리를 달린다. 한 차는 1갤런에 $40$마일을 가고, 다른 차는 1갤런에 $10$마일을 간다. 두 차를 합쳤을 때의 갤런당 마일(연비)을 구하라. 즉, 두 차가 달린 전체 마일을 두 차가 쓴 전체 갤런으로 나눈 값이다.

주어진 것: 레이의 차: 1갤런에 $40$마일; 톰의 차: 1갤런에 $10$마일; 레이와 톰은 각각 같은 거리를 달린다; 선택지: (A) $10$, (B) $16$, (C) $25$, (D) $30$, (E) $40$

구하는 것: 두 차를 합쳤을 때의 갤런당 마일(연비)

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

이 문제의 핵심은 "갤런당 마일"이라는 단위에 있다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 의미를 확정한다. 합친 연비는 전체 마일을 전체 갤런으로 나눈 값이므로, 할 일은 마일을 모두 더하고 갤런을 모두 더하는 것이다. 갤런을 정수로 만들어 분수를 피하려고, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 $40$과 $10$이 모두 나누어떨어지는 편리한 거리 하나를 골라 계산한다. 같은 거리라면 어떤 거리를 골라도 연비는 같다는 점을 믿는다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 1

합친 연비 식 세우기

단위를 주의 깊게 읽는다.
갤런당 마일은 마일을 갤런으로 나눈 것이므로, 두 차를 합친 연비는 두 차가 달린 전체 마일을 두 차가 쓴 전체 갤런으로 나눈 값이다.
$40$과 $10$을 평균 내서 $25$를 얻고 싶은 유혹이 들지만, 이는 느린 차가 같은 거리에서 기름을 훨씬 많이 쓴다는 사실을 무시한다.
그래서 낮은 연비가 더 크게 반영되어야 한다.

$$\text{합친 연비} = \dfrac{\text{전체 마일}}{\text{전체 갤런}}$$

💡 비율은 한 양당 다른 양이므로, 비율을 합친다는 것은 비율을 평균 내는 게 아니라 각 양을 따로 모두 더하는 것이다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 2

편리한 거리 하나 고르기

$40$과 $10$이 모두 나누어떨어지는 거리를 골라 갤런이 정수로 나오게 한다.
각 차가 $40$마일을 달린다고 하자.
레이의 차는 $40 \div 40 = 1$갤런을 쓰고, 톰의 차는 $40 \div 10 = 4$갤런을 쓴다.
톰의 차는 똑같은 거리를 가는 데 기름을 네 배나 쓴다.

$$\text{레이: } 40 \div 40 = 1 \text{ 갤런}, \quad \text{톰: } 40 \div 10 = 4 \text{ 갤런}$$

💡 연비를 고른 거리에 대한 갤런으로 바꾸면, 추상적인 비율이 더할 수 있는 셈할 수 있는 양으로 바뀐다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 3

합계를 더하고 나누기

이제 각 양을 모두 더한다.
두 차는 합쳐서 $40 + 40 = 80$마일을 달리고 $1 + 4 = 5$갤런을 쓴다.
나누면 합친 연비가 나온다: $80 \div 5 = 16$갤런당 마일.
이는 선택지 (B)와 일치한다.
$80$마일이나 $200$마일처럼 다른 같은 거리를 골라도 두 합계가 같은 배수로 커지므로 다시 $16$이 나온다.

$$\dfrac{40 + 40}{1 + 4} = \dfrac{80}{5} = 16 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 모은 마일을 모은 갤런으로 나누면 각 차가 실제로 쓴 기름만큼 가중되어 정직한 전체 연비가 나온다.

[1] #8 6.RP.A.2 단위를 주의 깊게 읽는다. 갤런당 마일은 마일을 갤런으로 나눈 것이므로, 두 차를 합친 연비는 두 차가 달린 전체 마일을 두 차가 쓴 전체 갤런

[2] #9 6.RP.A.3 $40$과 $10$이 모두 나누어떨어지는 거리를 골라 갤런이 정수로 나오게 한다. 각 차가 $40$마일을 달린다고 하자. 레이의 차는 $40 \

[3] #8 6.RP.A.3 이제 각 양을 모두 더한다. 두 차는 합쳐서 $40 + 40 = 80$마일을 달리고 $1 + 4 = 5$갤런을 쓴다. 나누면 합친 연비가 나온다

검토

합리성 확인: 합친 연비는 주어진 두 연비 $10$과 $40$ 사이에 있어야 하므로 선택지 (A) $10$과 (E) $40$은 제외된다. 기름을 많이 먹는 $10$연비 차가 기름 대부분을 쓰므로, 합친 연비는 $40$보다 $10$에 훨씬 가까워야 한다. $16$은 여기에 들어맞지만, 단순 평균 $25$(선택지 C)는 정중앙에 놓여 기름 사용의 불균형을 잘못 무시한다.

대안 접근: 숫자를 고르지 않고 정의를 바로 쓴다. 각 차가 거리 $d$를 달리면 전체 마일 $= 2d$, 전체 갤런 $= \dfrac{d}{40} + \dfrac{d}{10} = \dfrac{d}{40} + \dfrac{4d}{40} = \dfrac{5d}{40} = \dfrac{d}{8}$이다. 그러면 연비는 $2d \div \dfrac{d}{8} = 16$으로 $40$과 $10$의 조화평균이며, $d$가 약분되어 거리가 애초에 상관없었음을 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.2 Understand the concept of a unit rate and use rate language ("갤런당 마일"을 마일 나누기 갤런으로 읽고, 합친 연비를 전체 마일 나누기 전체 갤런으로 정의하기.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (각 차의 연비를 고른 거리에 대한 갤런으로 바꾼 뒤, 모은 마일을 모은 갤런으로 나누어 $80 \div 5 = 16$을 얻기.)

⭐ 두 비율을 합치려면 전체 마일과 전체 갤런을 각각 더한 뒤 나눈다. 절대 두 연비를 그냥 평균 내지 마라. 기름을 많이 먹는 차가 더 크게 반영되기 때문이다.