AMC 10 · 2014 · #8

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Unit Conversion Chain

unit-conversionratedimensional-analysis dimensional-analysis ↑ 선수 지식: unit-conversion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 트럭이 $t$ 초마다 $\dfrac{b}{6}$ 피트씩 이동한다. $1$ 야드는 $3$ 피트이다. 이 트럭이 $3$ 분 동안 이동하는 거리는 몇 야드인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{b}{1080t}$

(B)

$\frac{30t}{b}$

(C)

$\frac{30b}{t}$

(D)

$\frac{10t}{b}$

(E)

$\frac{10b}{t}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 트럭이 t초마다 \frac{b}{6}피트씩 일정한 빠르기로 움직인다. 3피트가 1야드임을 이용해, 3분 동안 몇 야드를 가는지 b와 t로 나타낸 식을 구한다.

주어진 것: 트럭은 t초마다 \frac{b}{6}피트를 간다.; 3피트 = 1야드.; 구하려는 시간 구간은 3분이다.

구하는 것: 3분 동안 트럭이 가는 야드 수를 b와 t로 나타낸 식.

이해

주어진 것: 트럭은 t초마다 \frac{b}{6}피트를 간다.; 3피트 = 1야드.; 구하려는 시간 구간은 3분이다.

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

이 문제는 피트와 야드, 초와 분이 섞여 있으므로 단위를 따라가는 것이 뼈대다. 모든 양을 같은 단위로 맞춘 뒤 곱하고 나눈다. 문자 b와 t는 식 그대로 끌고 가고, 답 선택지를 이용하면 b와 t가 어디에 놓이는지로 답을 점검할 수 있다.

실행 — 정답: E

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

분을 초로 바꾸기

빠르기는 t초 단위로 주어졌지만, 이동 시간은 분으로 주어졌다.
두 시간을 같은 단위로 맞춘다.
1분은 60초이므로 3분은 3 곱하기 60 = 180초이다.

$$3\text{ min} = 3 \times 60 = 180\text{ s}$$

💡 단위가 같아야 두 양을 하나로 합칠 수 있다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 2

간 거리를 피트로 합치기

트럭은 t초짜리 한 토막마다 \frac{b}{6}피트를 간다.
180초 안에는 그런 토막이 \frac{180}{t}개 있다.
토막의 수에 한 토막의 피트를 곱하면 전체 피트가 나온다.

$$\frac{180}{t} \times \frac{b}{6} = \frac{180b}{6t}$$

💡 전체 거리는 똑같은 토막의 개수에 한 토막의 길이를 곱한 것이다.

#8 단위 살펴보기 6.EE.A.2 단계 3

피트 식 간단히 하기

180을 6으로 나누어 분수를 약분한다.
문자 b와 t는 수를 대신할 뿐이므로 분수를 간단히 하는 평소 규칙이 그대로 적용된다.

$$\frac{180b}{6t} = \frac{30b}{t}\text{ feet}$$

💡 문자가 든 식을 간단히 하는 것도 그냥 수를 간단히 하는 것과 똑같다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

피트를 야드로 바꾸기

1야드는 3피트이므로, 피트 수를 3으로 나누면 야드가 된다.
\frac{30b}{t}를 3으로 나누면 \frac{10b}{t}이다.
이는 선택지 (E)와 같다.

$$\frac{30b}{t} \div 3 = \frac{30b}{3t} = \frac{10b}{t}\text{ yards}$$

💡 1야드를 만드는 데 피트가 더 많이 들므로 야드 수는 더 작아진다 — 그래서 나눈다.

[1] #8 6.RP.A.3 빠르기는 t초 단위로 주어졌지만, 이동 시간은 분으로 주어졌다. 두 시간을 같은 단위로 맞춘다. 1분은 60초이므로 3분은 3 곱하기 60 =

[2] #8 6.RP.A.2 트럭은 t초짜리 한 토막마다 \frac{b}{6}피트를 간다. 180초 안에는 그런 토막이 \frac{180}{t}개 있다. 토막의 수에 한 토

[3] #8 6.EE.A.2 180을 6으로 나누어 분수를 약분한다. 문자 b와 t는 수를 대신할 뿐이므로 분수를 간단히 하는 평소 규칙이 그대로 적용된다.

[4] #8 6.RP.A.3 1야드는 3피트이므로, 피트 수를 3으로 나누면 야드가 된다. \frac{30b}{t}를 3으로 나누면 \frac{10b}{t}이다. 이는 선택

검토

합리성 확인: 식의 모양과 한 가지 예로 확인한다. b가 클수록(더 빠른 트럭) 더 멀리 가야 하는데 \frac{10b}{t}는 b가 커지면 커진다 — 맞다. t가 클수록 한 토막이 더 오래 걸려 토막 수가 줄고 거리가 줄어야 하는데 \frac{10b}{t}는 t가 커지면 작아진다 — 이것도 맞다. b=6, t=1로 확인하면 빠르기가 1 ft/s이므로 180초에 180피트 = 60야드이고, \frac{10 \times 6}{1} = 60으로 일치한다.

대안 접근: 비례식을 세운다: t초에 \frac{b}{6}피트인 것이 180초에 x피트인 것과 같으므로 x = \frac{180}{t} \times \frac{b}{6} = \frac{30b}{t}피트, 그다음 3으로 나누어 \frac{10b}{t}야드를 얻는다. 또는 단위만으로 따져도 된다: 거리는 b가 커지면 늘고 t가 커지면 줄어 (D)와 (E)만 남고, 상수를 보면 (E)가 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (분을 초로, 피트를 야드로 바꾸고 전체 시간 구간에 대해 빠르기를 다루는 데 사용)
6.RP.A.2 Understand the concept of a unit rate and use rate language (t초에 \frac{b}{6}피트를 빠르기로 보고 180초까지 늘려 계산하는 데 사용)
6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (b와 t를 수를 대신하는 문자로 두고 \frac{180b}{6t}를 세워 \frac{30b}{t}로 간단히 하는 데 사용)

⭐ 먼저 모든 것을 같은 단위로 맞추면, 그다음 곱하기와 나누기는 저절로 풀린다.