AMC 10 · 2015 · #4

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking

ratio-proportionfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

파블로는 소피아보다 달걀이 3배 많고, 소피아는 미아보다 2배 많다. 파블로가 자기 달걀 일부를 나눠 줘서 셋이 모두 같은 개수가 되도록 한다. 파블로가 자기 달걀의 몇 분의 몇을 소피아에게 주어야 하는지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{12}$

(B)

$\frac{1}{6}$

(C)

$\frac{1}{4}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

"몇 배 많다"라는 두 조건이 서로 연결되므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 미아의 달걀을 한 글자로 두면 소피아와 파블로의 개수가 간단한 배수로 따라온다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 여기서 쌍둥이 지름길이다 — 미아에게 가장 작은 자연수를 넣으면 모든 개수가 자연수로 유지되어 마지막 단계까지 분수를 피할 수 있다. 같아진 개수만 알면 "자기 달걀의 몇 분의 몇"은 부분 대 전체의 비 하나이고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 답이 제시된 작은 분수 중 하나임을 확인한다.

1STEP 1

미아부터 개수 연결하기

미아를 m이라 하면 소피아는 2m, 파블로는 3 × 2m = 6m입니다.

미아=m, 소피아=2m, 파블로=6m

2STEP 2

같아진 개수 찾기

전체는 9m로 그대로이고, 같아진 몫은 3m입니다.

m+2m+6m=9m, 9m/3=3m

3STEP 3

소피아에게 딱 필요한 만큼 주고 분수 구하기

소피아는 파블로의 6m 중 m개가 더 필요하니 비율은 $\frac{1}{6}$ — 선택지 (B).

3m-2m=m, m/6m=1/6 → (B)

정답

1/6

m=1로 잡자: 미아 1, 소피아 2, 파블로 6, 전체 9이므로 각자 3이 되어야 한다. 파블로는 소피아에게 1개(2에서 3으로), 미아에게 2개를 줘서 자기 6개 중 3개를 나눠 주고 3개를 남긴다 — 모두 3으로 맞으니 확인된다. 소피아에게 준 여섯 중 하나는

\frac{1}{6}

로 (B)와 일치한다.

\frac{1}{2}

는 파블로가 전체적으로 나눠 주는 비율이지 소피아 몫이 아니므로 (E)는 함정이다.

💡핵심 정리

가장 작은 더미를 글자로 두고 나머지를 거기서 만들면, 복잡한 비가 다루기 쉬운 자연수로 바뀐다.

미아부터 개수 연결하기
같아진 개수 찾기
소피아에게 딱 필요한 만큼 주고 분수 구하기

미아부터 개수 연결하기

같아진 개수 찾기

소피아에게 딱 필요한 만큼 주고 분수 구하기

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