AMC 10 · 2016 · #8

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

linear-equations-one-var work-backwards ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

여우가 다리를 건널 때마다 돈이 먼저 두 배가 되고, 그다음 통행료 40 코인을 냅니다. 세 번 건넌 뒤에는 돈이 하나도 남지 않습니다. 여우가 처음에 가지고 있던 코인 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기

우리가 정확히 아는 깔끔한 수는 끝 상태입니다 — 세 번째로 건넌 뒤 0 코인. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 거기서 시작해 한 번의 건넘씩 되돌립니다. 한 번의 건넘을 되돌리려면 두 단계를 반대 순서로 합니다 — 먼저 통행료 40 을 다시 더하고, 그다음 두 배를 되돌리도록 반으로 나눕니다. 이 되돌리기를 세 번 하면 처음 금액에 도달합니다. (도구 #4, 변수 도입하기는 하나의 방정식으로 같은 답을 주며 확인용으로 보여줍니다.)

1STEP 1

반복되는 한 주기 보기

각 건넘은 같은 기계—두 배 후 40 빼기—로 세 번 돌아 0 으로 끝나니, 세 번 되돌리면 처음으로 돌아옵니다.

money → → new money

2STEP 2

되돌리기 단계 만들기

한 번의 건넘을 되돌리려면 두 동작을 반대 순서로 뒤집어 40 을 더한 뒤 2 로 나눕니다.

before = (after + 40)/2

3STEP 3

세 번째 건넘 되돌리기

마지막 건넘 되돌리기: 마지막 0 에 40 을 더하고 반으로 나누면 세 번째 건넘 직전 20.

(0 + 40)/2 = 40/2 = 20

4STEP 4

두 번째와 첫 번째 건넘 되돌리기

반복: 두 번째 건넘 전 (20+40)/2 = 30, 첫 번째 전 (30+40)/2 = 35, 이것이 처음 금액 (C).

(20+40)/2=30, (30+40)/2=35 → (C)

정답

35 를 앞으로 돌려봅니다. 건넘 1: 35× 2 = 70, 40 을 내면 30 남음. 건넘 2: 30× 2 = 60, 40 을 내면 20 남음. 건넘 3: 20× 2 = 40, 40 을 내면 0 남음. 세 번 건넌 뒤 돈이 정확히 사라지므로 (C) 가 맞습니다.

💡핵심 정리

끝을 알 때는, 반대 연산으로 단계를 거꾸로 돌리면 모든 것이 시작된 곳을 찾을 수 있습니다.

반복되는 한 주기 보기
되돌리기 단계 만들기
세 번째 건넘 되돌리기
두 번째와 첫 번째 건넘 되돌리기

반복되는 한 주기 보기

되돌리기 단계 만들기

세 번째 건넘 되돌리기

두 번째와 첫 번째 건넘 되돌리기

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