AMC 10 · 2016 · #1
학년 8 algebra exponentsfraction-arithmeticorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: exponents
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
a= 일 때 식 2a⁻¹+(a⁻¹)/(2)/a 의 값을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
2
(C)
$\frac{5}{2}$
(D)
10
(E)
20
AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
복잡한 계산이 위아래로 쌓여 있는 문제라서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 딱 맞습니다 — 먼저 a⁻¹이 무엇인지 구하고, 그다음 분자를 만들고, 마지막에 a 로 나눕니다. 각 조각은 작고 안전한 한 단계입니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 a⁻¹의 의미, 즉 음수 지수는 1/a 일 뿐이라는 점을 계속 붙잡아 주어 기호가 함정이 되지 않게 합니다.
1STEP 1
음의 지수 바꾸기
음수 지수는 밑을 역수로 뒤집는 것이므로 a⁻¹ = 이고, 의 역수는 2 입니다.
a⁻¹=1/a=1/1/2=2
지수 -1은 그냥 수를 뒤집는 것이고, 1/2를 뒤집으면 2가 됩니다.
지수가 마이너스 1이면 그 수를 뒤집을 뿐이다.
▸ 왜?
그 뒤집기가 그 수를 곱한 것을 되돌려 1로 만든다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
어떤 수에 그 뒤집은 것을 곱하면 1이 되고, 1을 곱해도 아무것도 달라지지 않는다.
곱셈의 항등원 (1)어떤 수의 1묶음은 그 수 자체 — 1을 곱하면 아무것도 안 바뀐다.
2STEP 2
분자 계산하기
분자 2a⁻¹ + 에 a⁻¹ = 2를 넣으면 2·2 + = 4 + 1 = 5 입니다.
2a⁻¹+(a⁻¹)/2=2(2)+2/2=4+1=5
a⁻¹이 평범한 수가 되고 나면, 분자는 앞에서부터 차례로 하는 보통 계산일 뿐입니다.
6.EE.A.2Identify Subproblems3STEP 3
분자를 a로 나누기
분자를 a 로 나누면 5 ÷ () = 5·2 = 10, 정답은 (D)입니다.
5/a=5/1/2=5 · 2=10 → (D)
1/2로 나눈다는 것은 "5 안에 1/2이 몇 번 들어가나?" 를 묻는 것이고, 답은 10입니다.
6.NS.A.1Identify Subproblems정답
10
분모 a= 가 작으므로, 이것으로 나누면 값이 분자 5 보다 훨씬 커져야 합니다. 10 — 분자의 두 배 — 은 그 예상에 맞고, 선택지 1, 2, 는 절반으로 나눠서 나오기엔 모두 너무 작습니다. 그래서 (D)가 알맞은 크기입니다.
💡핵심 정리
음수 지수를 먼저 역수로 바꾸면, 그다음은 이미 아는 "대입해서 계산하기" 일 뿐이에요.
- 음의 지수 바꾸기
- 분자 계산하기
- 분자를 a로 나누기