AMC 10 · 2016 · #24

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

sequences-arithmeticdigit-decompositioncasework systematic-enumeration ↑ 선수 지식: digit-decomposition

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

a가 0이 아닌 네 자리 수 abcd를 보고, 이웃한 자리에서 두 자리 수 ab, bc, cd를 읽어냅니다. 이 세 수가 ab ＜ bc ＜ cd로 점점 커지면서 등차수열(간격이 일정)을 이루도록 하고 싶습니다. 이런 네 자리 수가 몇 개인지 세어 봅니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이웃한 자릿수 사이의 점프를 변수로 두고, 간격이 같다는 규칙을 짧은 식 하나로 바꾼 뒤, 9의 배수라는 사실로 경우를 둘로 줄이고, 각 경우의 구성원을 손으로 나열한다.

1STEP 1

두 자리 수를 식으로

자릿값으로 각 두 자리 수는 10×(십의 자리)+(일의 자리); 맨 앞 a, b, c는 1부터 9, d만 0 가능.

ab = 10a+b, bc = 10b+c, cd = 10c+d

2STEP 2

간격이 같다는 식

등차란 항 사이 간격이 같다는 뜻이라 ab→bc 점프가 bc→cd와 같아야 하며, 이 식이 핵심 조건이다.

(10b+c)-(10a+b) = (10c+d)-(10b+c)

3STEP 3

자릿수 점프 변수화

x=b-a, y=c-b, z=d-c로 놓으면 두 간격 10x+y와 10y+z가 같고, 정리하면 z = 10x - 9y가 된다.

x=b-a, y=c-b, z=d-c → 10x+y = 10y+z → z = 10x-9y

4STEP 4

9의 배수 이용

z-x = 9(x - y)는 작은 9의 배수라 x-y는 -1, 0, 1 뿐; x-y=1은 불가능해 x-y=0과 x-y=-1만 남는다.

z-x = 9(x-y) → x-y ∈ {-1,0,1}; x-y=1 → z=x+9 ＞ 8 (불가능)

5STEP 5

x = y 경우: 자릿수 등차

x=y면 점프가 모두 같아 a,b,c,d가 등차: 공차 1은 여섯, 공차 2는 셋, 공차 3 이상은 없어 6 + 3 = 9개.

x-y=0: a,b,c,d 등차; 공차 1{:} 6, 공차 2{:} 3, 공차 ≥ 3{:} 0 → 9

6STEP 6

x - y = -1 경우

x-y=-1이면 y=x+1, z=x-9; x=0,1,2,3만 허용돼 각각 1,2,3,2개(예: 4692), 1 + 2 + 3 + 2 = 8.

x-y=-1: y=x+1, z=x-9; x=0{:} 1, x=1{:} 2, x=2{:} 3, x=3{:} 2 → 8

7STEP 7

경우 합치기

두 경우는 겹치지 않고 전부를 덮으므로 더하면 9 + 8 = 17개, 답은 (D).

9 + 8 = 17

정답

모든 선택지가 작은 수라 완전한 세기가 현실적이다. 두 경우가 9 + 8 = 17을 주고 이는 선택지 (D)이며, 예시 4692가 x - y = -1 경우(x = 2)의 한 수로 올바르게 등장한다.

💡핵심 정리

말을 자릿수 사이의 점프에 관한 식 하나로 바꾸면, 9의 배수 트릭이 끝없는 경우의 수를 손으로 끝낼 수 있는 짧은 목록 두 개로 줄여 준다.

두 자리 수를 식으로
간격이 같다는 식
자릿수 점프 변수화
9의 배수 이용
x = y 경우: 자릿수 등차
x - y = -1 경우
경우 합치기