AMC 10 · 2016 · #5

학년 6 arithmetic
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known
mean-median-mode-range identify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
사촌 네 명의 나이 평균은 8이고 중앙값은 5입니다. 가장 어린 사촌과 가장 나이 많은 사촌의 나이의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
13
(B)
16
(C)
19
(D)
22
(E)
25

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

문제는 네 사람의 나이를 하나하나 묻는 것이 아니라, 양 끝 두 나이의 합만 묻습니다. 나이를 어린 순서대로 줄 세우면 전체 합은 양 끝 둘과 가운데 둘로 나뉩니다. 도구 #16 (관점 바꾸기)에 따르면 양 끝 둘은 곧 전체에서 가운데 짝을 뺀 것이므로, 각 나이를 따로 알 필요가 없습니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 조각으로 나눕니다 — 평균으로 전체 합을 구하고, 중앙값으로 가운데 짝을 구하기 — 그리고 도구 #4 (변수 도입하기)는 그 두 짝을 각각 하나의 양으로 다루게 해 줍니다.

1STEP 1

평균으로 전체 나이 합 구하기

평균 × 개수가 전체 합이므로 네 나이의 합은 8 × 4 = 32입니다.

전체 합 = 평균 × 개수 = 8 × 4 = 32
2STEP 2

중앙값으로 가운데 짝 구하기

네 나이의 중앙값은 가운데 두 나이의 평균이므로 가운데 짝의 합은 2 × 5 = 10입니다.

가운데 두 나이 = 2 × 중앙값 = 2 × 5 = 10
3STEP 3

양 끝은 전체에서 가운데를 뺀 것

양 끝의 합은 전체에서 가운데 짝을 뺀 것: 32 - 10 = 22, 답은 (D)입니다.

가장 어린 + 가장 나이 많은 = 32 - 10 = 22 = (D)
정답
22
조건에 맞는 구체적인 나이로 확인해 봅시다: 3, 4, 6, 19는 평균이 3+4+6+194\frac{3+4+6+19}{4} = 324\frac{32}{4} = 8이고 중앙값이 4+62\frac{4+6}{2} = 5이며, 양 끝은 3 + 19 = 22입니다. 가운데 두 나이는 작고(5 근처) 전체 합은 32이므로 양 끝이 전체의 대부분을 떠받쳐야 합니다 — 양 끝의 합 22는 타당하며 (D)와 일치합니다.
💡핵심 정리

평균에 개수를 곱하면 전체 합이 나오고, 나머지는 하나하나 찾을 필요 없이 이미 아는 부분만 빼면 됩니다.

  • 평균으로 전체 나이 합 구하기
  • 중앙값으로 가운데 짝 구하기
  • 양 끝은 전체에서 가운데를 뺀 것

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