경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2009 · #21

학년 6 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

mean-median-mode-rangeratio-proportionset-partition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangeratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

40 행 75 열의 직사각형 숫자 표가 있습니다. 앤디는 각 행의 합을 구한 뒤 40 개 행 합의 평균을 A 로 두고, 베서니는 각 열의 합을 구한 뒤 75 개 열 합의 평균을 B 로 둡니다.

\frac{A}{B}

의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{64}{225}$

(B)

$\frac{8}{15}$

(C)

(D)

$\frac{15}{8}$

(E)

$\frac{225}{64}$

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

표 안의 실제 숫자는 주어져 있지 않아요. 이건 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)의 신호입니다 — 구체적인 칸 값과 무관하게 보존되는 양이 있어야 한다는 뜻이죠. 그 불변량은 표 전체의 총합 S 입니다. 행으로 더하든 열로 더하든 모든 칸을 정확히 한 번씩 지나가니까요. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 총합에 S 라는 이름을 붙이면 A 와 B 를 S 의 식으로 쓸 수 있고, 두 식에서 S 가 같다는 점을 이용해 A/B 가 단순한 행·열 개수의 비로 떨어집니다.

1STEP 1

전체 합에 이름 붙이기

행으로 더하든 열로 더하든 각 칸을 한 번씩 지나므로, 둘 다 같은 전체 합 S 가 됩니다.

S = 40 × 75 표 안 모든 칸의 합

2STEP 2

A를 전체 합으로 쓰기

앤디의 40 개 행 합을 더하면 S 이고 A 는 그 평균이므로 S = 40A.

A = S/40 → S = 40A

3STEP 3

B를 전체 합으로 쓰기

베서니의 75 개 열 합도 더하면 같은 S 이고 B 는 그 평균이므로 S = 75B.

B = S/75 → S = 75B

4STEP 4

비 구하기

40A 와 75B 둘 다 같은 S 이므로 40A = 75B, 따라서 $\frac{A}{B}$ = $\frac{15}{8}$ .

40A = 75B → A/B = 75/40 = 15/8 → (D)

정답

15/8

모든 칸이 1 인 표로 확인해 봅시다. 각 행 합은 75, 각 열 합은 40 이므로 A = 75, B = 40, 따라서

\frac{A}{B}

\frac{75}{40}

\frac{15}{8}

. 답 (D)와 일치하고, 표 안 숫자와 무관하게 같은 결과가 나오는 것도 기대했던 "불변량" 그대로입니다. 또한 한 행의 칸 수(75)가 한 열의 칸 수(40)보다 많으니 행 합이 더 클 수밖에 없고, 그래서 A ＞ B 인 점도 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

행 합도 열 합도 결국 같은 전체 합이 된다 — 그 "변하지 않는 값" 만 보이면 이 AMC 8 문제는 6학년 평균·비 문제로 풀려요!

전체 합에 이름 붙이기
A를 전체 합으로 쓰기
B를 전체 합으로 쓰기
비 구하기

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전체 합에 이름 붙이기

A를 전체 합으로 쓰기

B를 전체 합으로 쓰기

비 구하기

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