AMC 8 · 2006 · #20

학년 6 counting

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

combinations-basicsystematic-enumerationlogical-deduction identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basicmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

6 명의 선수가 단식 라운드 로빈 토너먼트를 합니다 — 각 쌍은 정확히 한 번씩 경기하고 무승부는 없습니다. 헬렌은 4 승, 이네스는 3 승, 자넷은 2 승, 켄드라는 2 승, 라라는 2 승을 거두었습니다. 모니카가 이긴 경기 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

누가 누구를 이겼는지 몰라도 모니카의 승수를 정확히 정할 수 있는 단서는 "불변량"입니다. 무승부 없는 라운드 로빈에서는 매 경기가 정확히 1 승을 만들어내므로, 모든 선수의 승수 총합 = 전체 경기 수가 됩니다. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 바로 이 불변량을 잡아내요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 두 단계 — (1) 전체 경기 수 세기, (2) 알려진 다섯 선수의 승수를 빼기 — 로 나누면 계산이 깔끔해집니다.

1STEP 1

각 선수가 나머지 다섯 명과 겨루면 두 번씩 세지므로, 총 경기 = $\frac{6 × 5}{2}$ = 15 경기.

전체 경기 수 =

\frac{6 × 5}{2}

= 15

2STEP 2

무승부가 없으니 매 경기에 승자는 딱 한 명 — 여섯 명의 승수 합은 경기 수 15 와 같아요.

헬렌 + 이네스 + 자넷 + 켄드라 + 라라 + 모니카 = 15

3STEP 3

알려진 다섯 승수 4 + 3 + 2 + 2 + 2 = 13, 모니카의 승수 = 15 - 13 = 2, 정답 (C).

4 + 3 + 2 + 2 + 2 = 13, 모니카의 승수 = 15 - 13 = 2 → (C)

정답

경기 수를 다른 방법으로도 검증해 봅시다. 모든 선수 쌍을 나열하면 (H,I), (H,J), (H,K), (H,L), (H,M), (I,J), (I,K), (I,L), (I,M), (J,K), (J,L), (J,M), (K,L), (K,M), (L,M) — 정확히 15 쌍이고

\frac{6 × 5}{2}

= 15 와 같습니다. 그리고 승수 합 4 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15 가 경기 수 15 와 일치합니다. 또 각 선수는 5 경기씩 했으니 개인 승수는 0 에서 5 사이여야 하는데, 모니카의 2 는 이 범위에 자연스럽게 들어가고 다른 선수들의 승수와도 모순이 없습니다.

💡핵심 정리

무승부 없는 라운드 로빈에서는 매 경기가 정확히 1 승을 만들기 때문에, 총 승수는 언제나 총 경기 수와 같습니다. 경기 15 게임을 세고 나면, 모니카의 승수는 그저 15 에서 다른 다섯 선수의 승수를 뺀 값이에요.

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