AMC 10 · 2017 · #1

학년 5 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps
order-of-operationsexponentspattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: order-of-operations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
📘 쉬운 버전 보기 →
문제
중첩된 식 (2(2(2(2(2(2+1)+1)+1)+1)+1)+1)의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
70
(B)
97
(C)
127
(D)
159
(E)
729

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

이 식은 똑같이 생긴 작은 계산들이 쌓여 만들어진 하나의 큰 계산입니다. 모든 층이 그저 "안을 2배 하고 1 더하기"일 뿐입니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)을 쓰면 가장 안쪽부터 괄호를 하나씩 벗겨, 무서워 보이는 탑을 여섯 번의 쉬운 단계로 바꿀 수 있습니다. 도구 #5 (패턴 찾기)는 매번의 누적값이 2의 거듭제곱보다 1 작다는 사실을 드러내고, 도구 #3 (가능성 지우기)은 그 패턴으로 들어맞는 선택지 하나를 골라냅니다.

1STEP 1

중첩을 안에서 바깥으로 읽기

괄호가 겹겹이 쌓여 있으니 중앙 (2+1)에서 시작해 바깥으로, 각 겹은 안을 2배 하고 1을 더합니다.

( 2(…)+1 ) 의 뜻: 안을 2배 하고 1 더하기
2STEP 2

두 배 하고 더하기, 처음 세 층

중앙에서 2+1=3, 이어서 2배 하고 1 더하기: 2 × 3 + 1 = 7, 2 × 7 + 1 = 15.

2+1=3, 2(3)+1=7, 2(7)+1=15
3STEP 3

남은 층 마무리하기

마지막 세 겹도 같은 규칙: 2 × 15 + 1 = 31, 2 × 31 + 1 = 63, 2 × 63 + 1 = 127 — 곧 식 전체.

2(15)+1=31, 2(31)+1=63, 2(63)+1=127
4STEP 4

패턴으로 답 고르기

누적값 3, 7, 15, 31, 63, 127은 각각 2의 거듭제곱보다 1 작으므로, 값은 2⁷ - 1 = 127 — (C)만 들어맞습니다.

3,7,15,31,63,127 = 2²-1, 2³-1,…,2⁷-1 → 127 = (C)
정답
127
서로 독립적인 두 가지 방법이 127로 일치합니다: 안에서 바깥으로 직접 계산하기 (3 → 7 → 15 → 31 → 63 → 127)와 패턴 2⁷ - 1. 결과는 선택지 97과 159 사이에 있는데, 가장 큰 단계가 2 × 63 + 1인 식치고는 타당하며, (C)와 일치합니다.
💡핵심 정리

괄호가 서로 안쪽에 겹겹이 쌓여 있으면 안에서 바깥으로 하나씩 열어 가세요 — 한 번에 한 번씩 쉬운 "두 배 하고 하나 더하기"로요.

  • 중첩을 안에서 바깥으로 읽기
  • 두 배 하고 더하기, 처음 세 층
  • 남은 층 마무리하기
  • 패턴으로 답 고르기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.