AMC 10 · 2017 · #14

학년 8 rate-ratio
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery
percentagesystems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
Roger의 용돈은 A 달러이다. 그는 영화표 한 장과 음료수 하나를 산다. 영화표 가격은 A에서 음료수 값을 뺀 차이의 20%이고, 음료수 가격은 A에서 영화표 값을 뺀 차이의 5%이다. 가장 가까운 정수 퍼센트로 반올림할 때, 영화표와 음료수에 쓴 돈은 A의 몇 퍼센트인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$9\%$
(B)
$19\%$
(C)
$22\%$
(D)
$23\%$
(E)
$25\%$

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

각 가격이 다른 가격을 이용해 설명되므로 두 가격에 이름을 붙이는 것이 실마리이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 m을 영화표 값, s를 음료수 값으로 둔다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 두 문장을 두 방정식으로 바꾼다 — "차이의 몇 퍼센트"가 각각 깔끔한 일차방정식이 된다 — 그리고 두 방정식이 같은 두 미지수를 공유하므로 하나를 다른 하나에 대입하면(두 일차방정식의 연립) 두 값이 모두 정해진다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 목표를 놓치지 않게 한다: 우리가 원하는 것은 (m+s)/A를 퍼센트로 나타낸 값이므로, A는 약분되어 달러가 순수한 비율로 바뀌어야 한다.

1STEP 1

두 값에 이름 붙이기

영화표 값을 m, 음료수 값을 s로 두면 각 문장이 방정식이 된다 (20% = 0.2, 5% = 0.05).

m = 0.2 (A - s), s = 0.05 (A - m)
2STEP 2

퍼센트 전개하기

각 소수를 차이에 분배하면 (A-s)의 20%는 0.2A - 0.2s, (A-m)의 5%는 0.05A - 0.05m이다.

m = 0.2A - 0.2s, s = 0.05A - 0.05m
3STEP 3

대입하여 영화표 값 분리하기

s = 0.05A - 0.05m을 첫 방정식에 대입하고 항을 모으면 0.99m = 0.19A, 즉 m = 19/99A이다.

m = 0.19A + 0.01m → 0.99m = 0.19A → m = 19/99A
4STEP 4

거꾸로 대입해 음료수 값 구하기

m = 19/99A를 s = 0.05A - 0.05m에 다시 넣으면 s = 4/99A이다.

s = 0.05A - 0.05·19/99A = (4.95 - 0.95)/99A = 4/99A
5STEP 5

더해서 퍼센트로 바꾸기

더하면 m + s = 19/99A + 4/99A = 23/99A, A가 약분되어 23/99 ≈ 23%, 즉 (D).

(m+s)/A = 23/99 = 0.2323… ≈ 23% → (D)
정답
23%
두 부분은 19/99A ≈ 19.2%와 4/99A ≈ 4.0%이고, 19.2% + 4.0% = 23.2%로 23/99과 일치한다. 정의를 점검하면, 영화표가 더 큰 지출이어야 하고(A 거의 전부의 20%), 음료수는 작아야 한다(A 거의 전부의 5%) — 19% 대 4%가 바로 그것을 보여준다. 23.23%를 반올림하면 23%, 즉 (D)이고, 가까운 함정인 19%(영화표만)는 문제가 두 항목을 함께 묻기 때문에 올바르게 제외된다.
💡핵심 정리

미지의 두 가격이 서로에게 의존할 때는, 각각에 문자를 붙이고 문장을 방정식으로 바꾼 뒤, 한 방정식을 다른 방정식에 대입하면 용돈이 약분되어 사라진다.

  • 두 값에 이름 붙이기
  • 퍼센트 전개하기
  • 대입하여 영화표 값 분리하기
  • 거꾸로 대입해 음료수 값 구하기
  • 더해서 퍼센트로 바꾸기

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