AMC 10 · 2017 · #16

학년 4 rate-ratio

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

lcmdivisor-countmultiples systematic-enumeration ↑ 선수 지식: lcm

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

말 10마리가 트랙을 돕니다. 말 k는 한 바퀴를 정확히 k분에 돌아서, 모두 시각 0에 함께 출발합니다. 시각 T에 어떤 말이 출발점에 돌아와 있으려면 T가 그 말의 바퀴 수만큼 정확히 떨어져야 합니다. 적어도 5마리가 동시에 출발점에 있는 최소 시각 T ＞ 0을 구하고, T의 각 자리 숫자를 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

이 문제의 숨은 핵심은 단 하나의 번역입니다: 말 k는 k분마다 출발점으로 돌아오므로, 시각 T에 출발점에 있는 것은 k가 T를 나누어떨어뜨릴 때뿐입니다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 만나는 시각을 T로 이름 붙이면 경주 전체를 나눗셈(약수) 조건으로 다시 쓸 수 있습니다. 그러면 "적어도 5마리가 출발점에 있다"는 "T가 1부터 10 사이 약수를 적어도 5개 가진다"가 되고, 그런 최소의 T는 도구 #6 (추측하고 확인하기)로 쉽게 찾을 수 있습니다: T=1,2,3,…을 차례로 시험하며 자격 있는 약수를 세고, 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 그 수를 깔끔하게 정리합니다. 10마리 전부가 아니라 5마리만 필요하므로 T는 모두 만나는 시각 S=2520보다 훨씬 작아, 작은 수를 손으로 확인하는 일은 금방 끝납니다.

1STEP 1

위치를 나눗셈으로 바꾸기

말 k는 k의 배수마다 출발점에 돌아오니, 시각 T에 있는 것은 k가 T를 나눌 때뿐입니다.

시각 T 에 말 k 가 출발점에 있다 ⇔ k ∣ T

2STEP 2

목표를 다시 쓰기

'적어도 5마리'는 T가 1~10 중 약수를 5개 이상 가진다는 뜻; 모두 만나는 2520보다 훨씬 작은 최소 T를 찾습니다.

#{k ∈ {1,…,10} : k ∣ T} ≥ 5 인 최소 T ＞ 0 찾기

3STEP 3

위로 탐색하며 약수 세기

위로 올라가면 6,8,10은 넷에서 멈추고, T=12가 처음으로 범위 안 약수 {1,2,3,4,6} 다섯 개에 도달합니다.

12: {1,2,3,4,6} (약수 5개) 대 6,8,10: 각각 4개

4STEP 4

T의 각 자리 숫자 더하기

T=12의 각 자리 숫자는 1과 2, 그 합은 1+2=3 — 선택지 (B).

T=12 → 1+2=3 → (B)

정답

답 T=12는 모두 만나는 시각 S=2520보다 훨씬 작은데, 이는 예상대로입니다: 5마리만 모으는 일은 10마리 전부를 모으는 일보다 훨씬 쉬우므로 시각도 훨씬 짧아야 합니다. 직접 확인하면 12가 됩니다 — 말 1,2,3,4,6이 모두 12분에 출발점에 있습니다 — 그리고 12 아래의 모든 수를 훑어보면 자격 있는 약수가 다섯에 도달하는 수는 없습니다(최선은 6, 8, 10으로 각각 넷). 숫자 1과 2의 합은 3으로 선택지 (B)와 일치합니다.

💡핵심 정리

말은 시계가 자기 번호의 배수가 될 때마다 출발점에 돌아오니, 5마리가 만나는 때를 찾는 것은 작은 약수 5개를 가진 가장 작은 시각을 찾는 것 — 그게 12이고, 자릿수 합은 3입니다.

위치를 나눗셈으로 바꾸기
목표를 다시 쓰기
위로 탐색하며 약수 세기
T의 각 자리 숫자 더하기

위치를 나눗셈으로 바꾸기

목표를 다시 쓰기

위로 탐색하며 약수 세기

T의 각 자리 숫자 더하기

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