AMC 10 · 2018 · #1

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

fraction-arithmeticorder-of-operationsexponents identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticorder-of-operations

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

중첩된 식 (((2+1)⁻¹+1)⁻¹+1)⁻¹+1의 값을 구한다. 여기서 지수 ⁻¹은 '역수를 취하라'는 뜻이다. 가장 안쪽 괄호부터 바깥쪽으로 계산하고, 그 결과를 다섯 개의 보기 중 하나와 맞춘다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac58$

(B)

$\frac{11}7$

(C)

$\frac85$

(D)

$\frac{18}{11}$

(E)

$\frac{15}8$

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 이 식은 '역수, 그다음 +1' 형태의 똑같은 덩어리가 세 번 중첩된 것이다. 가장 안쪽 덩어리를 하나의 분수로 계산한 뒤, 그 분수를 다음 덩어리에, 다시 마지막 덩어리에 넣는다. 도구 #5 (패턴 찾기)로 각 층을 기계적으로 처리한다 — 분수를 뒤집고, 1을 더한다. 도구 #3 (가능성 지우기)으로 마지막 분수를 다섯 보기와 맞춘다.

1STEP 1

기호 해석하기

지수 ⁻¹은 역수: x⁻¹=1/x, 분수는 뒤집혀 (a/b)⁻¹=b/a. 매 층은 역수를 취한 뒤 1을 더한다.

x⁻¹ = 1/x, (a/b)⁻¹ = b/a

2STEP 2

가장 안쪽 덩어리

가장 깊은 괄호부터: 2+1=3, 3⁻¹=1/3, 그다음 1/3+1=4/3.

(2+1)⁻¹+1 = 3⁻¹+1 = 1/3 + 1 = 4/3

3STEP 3

가운데 덩어리

4/3에 덩어리 적용: (4/3)⁻¹=3/4, 그다음 3/4+1=7/4.

(4/3)⁻¹+1 = 3/4 + 1 = 7/4

4STEP 4

바깥 덩어리

7/4에 한 번 더: (7/4)⁻¹=4/7, 그다음 4/7+1=11/7.

(7/4)⁻¹+1 = 4/7 + 1 = 11/7

5STEP 5

보기와 맞추기

식 전체는 11/7, 즉 보기 (B)이다.

(((2+1)⁻¹+1)⁻¹+1)⁻¹+1 = 11/7 → (B)

정답

11/7

이 값은 1보다 조금 커야 한다. 마지막 단계에서 1보다 작은 양의 역수 4/7에 1을 더하기 때문이다. 실제로 11/7 ≈ 1.57로, 가장 작은 보기 5/8 = 0.625와 가장 큰 보기 15/8 = 1.875 사이에 들어간다. 분모 7도 자연스럽다: 끝에서 두 번째 값이 7/4였고, 그것을 뒤집으면서 7이 분모로 갔다.

💡핵심 정리

-1 지수는 그냥 수를 뒤집는 것이니, 중첩된 괄호를 한 층씩 벗겨라 — 뒤집고, 1을 더하고, 반복: 1/3+1=4/3, 그다음 3/4+1=7/4, 그다음 4/7+1=11/7, 즉 (B)이다.

기호 해석하기
가장 안쪽 덩어리
가운데 덩어리
바깥 덩어리
보기와 맞추기

기호 해석하기

가장 안쪽 덩어리

가운데 덩어리

바깥 덩어리

보기와 맞추기

비슷한 유형 더 풀어보기