AMC 10 · 2019 · #15

학년 8 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

recursive-sequencesequences-arithmeticpattern-recognitiontelescoping-sum pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: recursive-sequencesequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

a₁ = 1, a₂ =

\frac{3}{7}

이고 n ≥ 3 에 대해 a_n =

\frac{a_n-2 · a_n-1}{2 a_n-2 - a_n-1}

로 정의된 수열이 있다. a₂019 =

\frac{p}{q}

(p, q 는 서로소인 양의 정수)일 때 p + q 를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2020

(B)

4039

(C)

6057

(D)

6061

(E)

8078

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

도구 #15(다르게 정리): 역수를 취해 b_n = $\frac{1}{a_n}$ 로 두면 곱셈식이 깔끔한 일차 점화식 b_n = 2 b_n-1 - b_n-2 로 바뀜 — 즉 b_n - b_n-1 가 일정해 등차수열. 도구 #5(패턴) + 도구 #9(쉬운 문제): a₃, a₄ 를 손으로 검증해 등차 패턴 확인. 그러면 b₂019 는 등차 일반항으로 즉시 계산, 마지막으로 p + q 도출. 도구 #3 으로 선택지 매칭.

1STEP 1

역수 b_n = $\frac{1}{a_n}$ 로 두면 곱셈식이 깔끔한 일차 규칙 b_n = 2 b_n-1 - b_n-2 로 바뀜.

b_n =

\frac{1}{a_n}

→ b_n = 2 b_n-1 - b_n-2

2STEP 2

b_n - b_n-1 = b_n-1 - b_n-2 로 쓰면 연속한 차가 모두 같아 {b_n} 은 등차수열.

b_n - b_n-1 = b_n-1 - b_n-2 → {b_n} 등차

3STEP 3

b₁ = 1, b₂ = $\frac{7}{3}$ 이라 공차 $\frac{4}{3}$ , 따라서 b_n = $\frac{4n - 1}{3}$ .

b₁ = 1, b₂ =

\frac{7}{3}

, d =

\frac{4}{3}

→ b_n =

\frac{4n - 1}{3}

4STEP 4

n = 3 검증: 일반항은 a₃ = $\frac{3}{11}$ , 원래 점화식도 같은 값이 나와 일치.

a₃ = (

\frac{3}{7}

)/(

\frac{11}{7}

) =

\frac{3}{11}

\frac{1}{b₃}

✓

5STEP 5

n = 2019 대입: b₂019 = $\frac{4 · 2019 - 1}{3}$ = $\frac{8075}{3}$ , 따라서 a₂019 = $\frac{3}{8075}$ .

b₂019 =

\frac{8075}{3}

, a₂019 =

\frac{3}{8075}

6STEP 6

8075 = 5² · 17 · 19 에 3 이 없어 $\frac{3}{8075}$ 는 기약분수: p = 3, q = 8075.

8075 = 5² · 17 · 19, gcd(3, 8075) = 1 → p = 3, q = 8075

7STEP 7

덧셈: p + q = 3 + 8075 = 8078.

p + q = 3 + 8075 = 8078

8STEP 8

8078 은 선택지 (E) 와 일치.

8078 → (E)

정답

8078

선택지 자체가 좋은 단서: 8078 = 2 · 4039 ≈ 4 · 2019 이고, 실제 q = 8075 ≈ 4 · 2019 — b₂019 =

\frac{4 · 2019 - 1}{3}

의 분자와 정확히 부합. 또 n 이 커지면 b_n → ∞ 이므로 a_n → 0 이고,

\frac{3}{8075}

가 작은 값인 것도 일관됨.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 역수와 등차수열만 알면 풀 수 있어요! 역수 b_n = $\frac{1}{a_n}$ 로 두면 복잡한 곱셈 규칙이 b_n = 2 b_n-1 - b_n-2, 곧 {b_n} 은 등차. b₁ = 1, b₂ = $\frac{7}{3}$ 라 공차 $\frac{4}{3}$ , 일반항 b_n = $\frac{4n - 1}{3}$ . n = 2019 에서 b₂019 = $\frac{8075}{3}$ , a₂019 = $\frac{3}{8075}$ . 8075 = 5² · 17 · 19 이라 기약분수이므로 p + q = 3 + 8075 = 8078, 답 (E).

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