AMC 10 · 2018 · #3

학년 3 algebra
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree
set-partitionmental-arithmetic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: mental-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
( × )+( × ) 의 네 빈칸에 숫자 1,2,3,4 를 각각 한 번씩 넣습니다. 이 식이 가질 수 있는 서로 다른 값의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
6
(E)
24

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

작은 유한 상황에서 "서로 다른 값이 몇 개냐"를 묻는 문제는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 정답입니다. 다만 빈칸을 채우는 4! = 24 가지를 모두 나열하면 낭비이므로, 먼저 도구 #15(다르게 정리하기)를 씁니다. × 와 + 가 모두 교환법칙을 만족하므로 중요한 것은 오직 네 숫자를 어떻게 두 쌍으로 나누는가뿐입니다. 이렇게 다시 보면 어수선한 24가지가 몇 개의 짝짓기로 줄어듭니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 개수를 선택지와 대조해 확인합니다.

1STEP 1

곱 안과 곱 사이의 순서는 중요하지 않다

a× b = b× a, P+Q = Q+P 이므로 값은 네 숫자를 어떻게 두 쌍으로 나누느냐에만 달려 있고 순서와는 무관합니다.

(a× b)+(c× d) = (b× a)+(d× c) = (c× d)+(a× b)
2STEP 2

두 쌍으로 나누는 방법 나열하기

1 을 고정해 짝을 2, 3, 4 중 고르면 남은 둘이 자동으로 짝이 되어 세 가지 분할이 중복·누락 없이 나옵니다.

{1,2} & {3,4} {1,3} & {2,4} {1,4} & {2,3}
3STEP 3

각 쌍을 곱하기

각 분할에서 한 쌍의 두 숫자를 곱해, 더할 두 곱을 구합니다.

1× 2=2, 3× 4=12; 1× 3=3, 2× 4=8; 1× 4=4, 2× 3=6
4STEP 4

각 분할에서 두 곱을 더하기

각 분할의 두 곱을 더해 값을 구합니다: 14, 11, 10.

2+12=14; 3+8=11; 4+6=10
5STEP 5

서로 다른 값 세기

값 14, 11, 10 이 모두 달라 서로 다른 값은 세 개 — 선택지 (B); 순서를 세는 함정 6, 24 는 배제됩니다.

{14, 11, 10} → 서로 다른 값 3개 → (B)
정답
3
큰 선택지 24 와 6 은 함정입니다. 24 = 4! 은 순서가 다른 모든 채우기를 세고, 6 은 짝짓기를 과다하게 셉니다. 둘 다 × 와 + 가 교환법칙을 만족한다는 점을 무시한 결과입니다. 네 숫자를 두 쌍으로 나누는 방법은 진짜로 3 가지뿐이고, 세 값 14, 11, 10 이 마침 모두 달라 더 합쳐질 것이 없습니다. 서로 다른 값 세 개, 선택지 (B) 와 모순이 없습니다.
💡핵심 정리

× 와 + 는 순서를 따지지 않으니 결정할 것은 1,2,3,4 를 두 쌍으로 어떻게 나누느냐뿐 — 방법은 딱 세 가지이고 14, 11, 10 이 나와요.

  • 곱 안과 곱 사이의 순서는 중요하지 않다
  • 두 쌍으로 나누는 방법 나열하기
  • 각 쌍을 곱하기
  • 각 분할에서 두 곱을 더하기
  • 서로 다른 값 세기

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