경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2019A · #17

학년 7 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

permutations-basiccombinations-basiccombinatorial-identitycasework caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: permutations-basiccombinations-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어린이가 빨강 2, 파랑 3, 초록 4 — 총 9 개의 정육면체 블록을 가지고 있습니다. 그중 8 개를 쌓아 탑을 만듭니다 (한 개는 남음). 같은 색끼리는 구별되지 않을 때, 만들 수 있는 서로 다른 탑의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

288

(C)

312

(D)

1,260

(E)

40,320

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (쪼개기): 남는 블록의 색을 기준으로 세 경우로 깔끔하게 분리 — 각 경우는 작은 다항계수 계산. 도구 #2 (나열): 각 경우 안에서 답은 8!/a! b! c! 형태. 도구 #3 (지우기): 객관식이므로 한 경우만 계산해도 답의 크기를 가늠해 (D) 외 다른 선택지를 빠르게 배제 가능.

1STEP 1

빨강이 남는 경우 세기

경우 R (빨강 하나 남김): 빨강 1, 파랑 3, 초록 4 배열. $\frac{8!}{1! 3! 4!}$ = 280.

8!/1! 3! 4! = 40320/(1 · 6 · 24) = 40320/144 = 280

2STEP 2

파랑이 남는 경우 세기

경우 B (파랑 하나 남김): 빨강 2, 파랑 2, 초록 4 배열. $\frac{8!}{2! 2! 4!}$ = 420.

8!/2! 2! 4! = 40320/(2 · 2 · 24) = 40320/96 = 420

3STEP 3

초록이 남는 경우 세기

경우 G (초록 하나 남김): 빨강 2, 파랑 3, 초록 3 배열. $\frac{8!}{2! 3! 3!}$ = 560.

8!/2! 3! 3! = 40320/(2 · 6 · 6) = 40320/72 = 560

4STEP 4

세 경우 더하기

세 경우는 서로소이므로 합산: 280 + 420 + 560 = 1260 — 선택지 (D).

280 + 420 + 560 = 1260 → (D)

정답

1,260

만약 9 개가 모두 구별된다면 9! = 362880 인데, 선택지보다 훨씬 큼. 같은 색을 묶으면 크게 줄어듦. 깔끔한 검증: 9 개를 모두 쌓고 맨 아래를 "남는 블록" 으로 정한다는 대응 (일대일)으로

\frac{9!}{2! 3! 4!}

\frac{362880}{288}

= 1260 — 같은 값. (E) 40320 = 8! 은 "모두 다르다" 함정; (A) 24, (B) 288은 너무 작아 단일 분모처럼 보이는 함정; (C) 312는 한 경우값에 가까운 트랩.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 7학년 때 배운 정리된 세기만 알면 풀 수 있어요 — 남는 블록 색으로 분리해 각 경우의 다항계수를 더하면 280 + 420 + 560 = 1260. 답은 (D).

빨강이 남는 경우 세기
파랑이 남는 경우 세기
초록이 남는 경우 세기
세 경우 더하기

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빨강이 남는 경우 세기

파랑이 남는 경우 세기

초록이 남는 경우 세기

세 경우 더하기

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