경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2002 · #1
학년 7 geometry-2dcounting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
세 도형은 세 쌍을 만듭니다: 직선-직선 한 쌍, 직선-원 두 쌍. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 한 쌍씩 따로 다뤄 각 쌍의 최댓값을 구한 뒤 더하면 됩니다. 도구 #15(그림으로 시각화하기)는 마지막에 필요해요. 세 쌍이 동시에 최댓값을 내면서 다섯 점이 모두 서로 다른 한 장의 그림이 실제로 존재하는지 확인해야 비로소 그 합계가 "도달 가능한" 답이 되니까요.
두 직선의 교점 세기
쌍 1, 직선 대 직선: 서로 다른 두 직선은 교차시켜야 최대 1 점.
4학년에서 배우는 점, 직선, 평행/교차 직선: 서로 다른 두 직선은 최대 한 점만 공유합니다.
4.G.A.1Identify Subproblems원과 첫 직선 교점 세기
쌍 2, 원 대 첫 직선: 내부를 가로지르는 할선이면 원과 최대 2 점에서 만납니다.
7학년 원 단원의 할선 상황 그대로: 현(弦)은 원과 두 끝점에서 만납니다.
7.G.B.4Identify Subproblems원과 둘째 직선 교점 세기
쌍 3, 원 대 둘째 직선: 첫 직선과 무관하게 이 역시 할선이 되어 추가 2 점.
두 번째 직선은 첫 번째와 독립이므로 똑같이 할선이 되어 추가로 2 점을 만들 수 있습니다.
7.G.B.4Identify Subproblems세 최댓값 더하기
세 쌍의 최댓값 1 + 2 + 2를 더해 전체 상한을 5 로 잡습니다.
4학년 다단계 덧셈: 쌍마다 독립이므로 그냥 쌓아서 더하면 됩니다.
가능한 최대 교점 수는 두 직선끼리의 한 번 교차에, 각 직선이 원과 만드는 두 교점을 더한 것이며, 그 점들은 모두 서로 다른 점으로 센다.
▸ 왜?
교점들은 세 개의 짝 묶음 — 두 직선끼리, 그리고 원과 각 직선 — 으로 나뉘고, 이 묶음들이 어떤 점도 공유하지 않도록 그릴 수 있으므로, 전체 개수는 세 묶음의 개수를 더한 것과 정확히 같다.
▸ 왜?
어떤 모임을 겹침도 빈틈도 없는 부분들로 나누면, 전체의 크기는 각 부분의 크기를 더한 것과 같다.
▸ 왜?
하나의 직선은 원과 많아야 두 곳에서 만나므로, 각 직선은 전체에 많아야 두 개의 점을 더한다.
▸ 왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 같은 거리에 있으므로, 직선이 원과 공유하는 점들은 직선이 중심에 가장 가까워지는 곳을 기준으로 짝을 이루어 균형을 이루고, 세 번째 공유점은 들어설 수 없다.
최댓값 가능한지 확인하기
원에 두 할선을 원 내부에서 교차하게 그리면 내부 교점 1 개 + 원 위 4 개 = 5 개로 상한이 달성됩니다.
4학년 "그리고 식별하기" 활동 그대로: 간단한 스케치 한 장으로 다섯 점이 모두 다르다는 것을 확인하면 상한 5가 실제로 이루어집니다.
4.G.A.1Organize Information In More Ways세 도형이면 쌍이 세 개. 쌍마다 가능한 최대 교점을 구하고, 한 그림에서 그 최대가 모두 동시에 이루어지는지 확인하기 — 이 확인 단계 덕분에 5는 단순한 추측이 아니라 진짜 답이 됩니다.
- 두 직선의 교점 세기
- 원과 첫 직선 교점 세기
- 원과 둘째 직선 교점 세기
- 세 최댓값 더하기
- 최댓값 가능한지 확인하기
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