AMC 8 · 2002 · #1

학년 7 geometry-2dcounting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

spatial-visualizationsystematic-enumerationcombinations-basic identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 장의 종이에 원 하나와 서로 다른 직선 두 개를 그립니다. 이 세 도형 중 어느 두 도형이라도 서로 만나는 점을 모두 셀 때, 가능한 교점의 최대 개수는 몇 개인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

세 도형은 세 쌍을 만듭니다: 직선-직선 한 쌍, 직선-원 두 쌍. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 한 쌍씩 따로 다뤄 각 쌍의 최댓값을 구한 뒤 더하면 됩니다. 도구 #15(그림으로 시각화하기)는 마지막에 필요해요. 세 쌍이 동시에 최댓값을 내면서 다섯 점이 모두 서로 다른 한 장의 그림이 실제로 존재하는지 확인해야 비로소 그 합계가 "도달 가능한" 답이 되니까요.

1STEP 1

쌍 1, 직선 대 직선: 서로 다른 두 직선은 교차시켜야 최대 1 점.

직선 ∩ 직선 ≤ 1 점

2STEP 2

쌍 2, 원 대 첫 직선: 내부를 가로지르는 할선이면 원과 최대 2 점에서 만납니다.

원 ∩ 직선₁ ≤ 2 점

3STEP 3

쌍 3, 원 대 둘째 직선: 첫 직선과 무관하게 이 역시 할선이 되어 추가 2 점.

원 ∩ 직선₂ ≤ 2 점

4STEP 4

세 쌍의 최댓값 1 + 2 + 2 를 더해 전체 상한을 5 로 잡습니다.

1 + 2 + 2 = 5

5STEP 5

원에 두 할선을 원 내부에서 교차하게 그리면 내부 교점 1 개 + 원 위 4 개 = 5 개로 상한이 달성됩니다.

도달 가능한 합계 = 5 → (D)

정답

교차 검증: 세 도형이면 C(3, 2) = 3 쌍이 생기고, 쌍별 최대는 1, 2, 2. 합 5 는 (D) 와 일치합니다. 더 큰 값은 불가능합니다. 어느 직선-원 쌍에서 3 점이 되려면 직선이 원과 세 점에서 만나야 하지만 그런 직선은 없고, 직선-직선 쌍에서 2 점이 되려면 두 직선이 같은 직선이어야 해서 "서로 다른" 조건에 어긋납니다. 따라서 5 는 상한이자 실제로 도달 가능한 답입니다.

💡핵심 정리

세 도형이면 쌍이 세 개. 쌍마다 가능한 최대 교점을 구하고, 한 그림에서 그 최대가 모두 동시에 이루어지는지 확인하기 — 이 확인 단계 덕분에 5 는 단순한 추측이 아니라 진짜 답이 됩니다.

비슷한 유형 더 풀어보기