경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2019A · #18

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

base-conversionsequences-geometriclinear-diophantinedigit-constraints convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: base-conversionsequences-geometric

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 진수 k 에서

\frac{7}{51}

을 k 진법 "소수" 로 적으면 순환소수 0.232323…_k 가 됩니다. 양의 정수 k 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

도구 #3 (지우기): k 의 후보는 단 5 개 — 각각 대입해 7/51과 비교하면 됩니다. 도구 #6 (추측하고 확인): 각 선택지를 대입해 한 번의 산수 검증. 도구 #13 (대수): 등식 (2k+3)/(k²-1) = 7/51을 세워 검사 대상 식을 명확히 합니다.

1STEP 1

순환마디를 분수로 바꾸기

순환하는 k 진법 두 자리는 등비급수를 이루어 $\frac{2k+3}{k²-1}$ 로 합해집니다.

0.23_k = (2k+3)/(k²-1)

2STEP 2

양변 곱해 이차식 만들기

$\frac{7}{51}$ 과 같다 놓고 교차곱해 분수를 없애면 이차식 7k² - 102k - 160 = 0 이 됩니다.

7k² - 102k - 160 = 0

3STEP 3

선택지마다 대입해 보기

각 선택지를 이차식에 대입하면 k = 16 만 0이 됩니다 (1792 - 1632 - 160 = 0).

k = 16: 7(256) - 102(16) - 160 = 1792 - 1632 - 160 = 0 ✓

4STEP 4

16진법으로 직접 확인하기

직접 확인: 16 진법 0.23은 $\frac{35}{255}$ 로, 5로 약분하면 $\frac{7}{51}$ — 답 확정.

35/255 = 7/51 → (D) 16

정답

\frac{7}{51}

≈ 0.1373. 16 진법 0.23₁₆ =

\frac{35}{255}

≈ 0.1373 — 일치. 다른 선택지는 k = 13 →

\frac{29}{168}

, k = 14 →

\frac{31}{195}

, k = 15 →

\frac{33}{224}

, k = 17 →

\frac{37}{288}

— 모두

\frac{7}{51}

과 다름. (D)만 통과.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 방정식 풀이만 알면 풀 수 있어요 — k 진법 순환을 $\frac{2k+3}{k²-1}$ 로 바꾸고 $\frac{7}{51}$ 과 같다 놓고 후보를 대입하면 k = 16. 답은 (D).

순환마디를 분수로 바꾸기
양변 곱해 이차식 만들기
선택지마다 대입해 보기
16진법으로 직접 확인하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

순환마디를 분수로 바꾸기

양변 곱해 이차식 만들기

선택지마다 대입해 보기

16진법으로 직접 확인하기

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