경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2019A · #22

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basicgeometric-probabilitycaseworkconditional-probabilityfraction-arithmetic caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicgeometric-probabilityconditional-probability

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

[0, 1] 안의 수 x 를 이렇게 만들어요 — 동전 한 번 던지기. 앞면이면 한 번 더 던져 앞면=0, 뒷면=1. 뒷면이면 x 를 [0, 1] 균등 분포에서 뽑음. y 도 똑같은 방식으로 독립적으로 만들어요. |x - y| ＞

\frac{1}{2}

일 확률은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{3}$

(B)

$\frac{7}{16}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{9}{16}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): (x 의 분기) × (y 의 분기)로 네 가지 경우 — 독립이라 각 확률 1/4. 도구 #2(빠짐없이 나열): 네 경우 (이산-이산, 이산-균등, 균등-이산, 균등-균등) 모두 나열. 도구 #1(그림): 균등-균등 경우에는 단위정사각형 위에 |x-y| ＞ 1/2 영역(두 모서리 직각삼각형) 칠하기. 도구 #9(더 쉬운 문제): 각 경우가 작은 문제로 깔끔히 정리, 합치는 건 가중합.

1STEP 1

네 경우로 나누기

x 와 y 를 만든 분기로 나누면, 네 결합 경우 DD, DU, UD, UU 는 독립이고 각 확률 $\frac{1}{4}$ .

P(DD) = P(DU) = P(UD) = P(UU) = 1/4

2STEP 2

DD 경우 계산하기

경우 DD: 둘 다 {0, 1}이라 |x-y| ＞ $\frac{1}{2}$ 는 x ≠ y 필요 — 네 결과 중 두 개, 조건부 확률 $\frac{1}{2}$ .

P(· ∣ DD) = 1/2

3STEP 3

DU 경우 계산하기

경우 DU: x 는 0 또는 1, y 균등. 어느 끝점이든 구간의 절반이 $\frac{1}{2}$ 초과 떨어져 조건부 확률 $\frac{1}{2}$ .

P(· ∣ DU) = 1/2

4STEP 4

대칭으로 UD 경우 구하기

경우 UD 는 DU 에서 x, y 만 바꾼 것이라 대칭으로 조건부 확률 $\frac{1}{2}$ .

P(· ∣ UD) = 1/2

5STEP 5

UU 경우 계산하기

경우 UU: 둘 다 균등. 단위정사각형에서 |x - y| ＞ $\frac{1}{2}$ 는 넓이 $\frac{1}{8}$ 짜리 모서리 삼각형 두 개 — 조건부 확률 $\frac{1}{4}$ .

P(· ∣ UU) = 2 · 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/4

6STEP 6

네 경우 합치기

전확률 법칙으로 각 가중치 $\frac{1}{4}$ 로 결합: $\frac{1}{4}$ ( $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ ) = $\frac{7}{16}$ , 정답 (B).

P = 1/4(1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/4) = 7/16

정답

7/16

\frac{7}{16}

≈ 0.44로

\frac{1}{2}

보다 작음. 직관: x, y 둘 다 균등이면

\frac{1}{4}

만 나오지만, 이산 분기가 x 나 y 를 0 이나 1 끝점으로 끌어와 다른 값과

\frac{1}{2}

초과 벌어지기 쉽게 만들어 확률을 끌어올림.

\frac{1}{4}

와

\frac{1}{2}

사이가 정확히 예상 범위. 분수 검산:

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{2+2+2+1}{4}

\frac{7}{4}

\frac{1}{4}

\frac{7}{4}

\frac{7}{16}

. 선택지 (D)

\frac{9}{16}

은 여사건 P(|x-y| ≤

\frac{1}{2}

) 함정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 7학년 확률 모델과 단위정사각형 기하 확률만 있으면 풀려요 — 네 경우 (이산-이산, 이산-균등, 균등-이산, 균등-균등)로 나눠 조건부 확률 $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ 를 얻은 뒤 평균: $\frac{1}{4}$ ( $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ ) = $\frac{7}{16}$ .

네 경우로 나누기
DD 경우 계산하기
DU 경우 계산하기
대칭으로 UD 경우 구하기
UU 경우 계산하기
네 경우 합치기

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