경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2019B · #13

학년 6 arithmetic

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Digit Place Position

mean-median-mode-rangecaseworklinear-equations-one-var caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

다섯 수 4, 6, 8, 17, x 의 중앙값과 평균이 같아지도록 하는 모든 실수 x 의 합을 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-5

(B)

(C)

(D)

$\frac{15}{4}$

(E)

$\frac{35}{4}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2(체계적 나열): x ≤ 6, 6 ≤ x ≤ 8, x ≥ 8의 세 경우에 따라 중앙값이 각각 6, x, 8 — 빠짐없이 세 경우만 점검. 도구 #7(쪼개기): 각 경우에서 평균 = 중앙값 식을 따로 풀고, 나온 x 가 그 경우의 조건을 만족하는지 검사. 도구 #3으로 두 경우는 자기 조건과 모순이라 탈락, 살아남는 한 값만 합. 대수도 한 경우당 한 줄이라 무거운 도구 불필요.

1STEP 1

평균 식 쓰기

평균을 일반식으로: 4,6,8,17,x 의 평균은 언제나 $\frac{35+x}{5}$ .

평균 = (4+6+8+17+x)/5 = (35+x)/5

2STEP 2

중앙값 세 경우 나누기

x 의 위치에 따라 중앙값은 6, x, 8 중 하나: x ≤ 6이면 6, 6 ≤ x ≤ 8이면 x, x ≥ 8이면 8.

중앙값 ∈ {6, x, 8} (각각 x ≤ 6, 6 ≤ x ≤ 8, x ≥ 8)

3STEP 3

중앙값 6 검사하기

경우 A, 중앙값 6: $\frac{35+x}{5}$ = 6 → x = -5; -5 ≤ 6이므로 정렬 -5,4,6,8,17의 중앙값 6 — 유효.

(35+x)/5 = 6 → x = -5 ( ≤ 6 ✓)

4STEP 4

중앙값 x 검사하기

경우 B, 중앙값 x: $\frac{35+x}{5}$ = x → x = $\frac{35}{4}$ = 8.75; 6 ≤ x ≤ 8이어야 하는데 8.75 ＞ 8 — 무효.

(35+x)/5 = x → x = 35/4 = 8.75 ( not ≤ 8 ×)

5STEP 5

중앙값 8 검사하기

경우 C, 중앙값 8: $\frac{35+x}{5}$ = 8 → x = 5; x ≥ 8이어야 하는데 5 ＜ 8 — 무효.

(35+x)/5 = 8 → x = 5 ( not ≥ 8 ×)

6STEP 6

되는 경우만 남기기

경우 A 만 살아남아 유효한 x 는 -5 하나, 합은 -5.

합 = -5

7STEP 7

선택지와 맞춰 보기

따라서 -5는 답 (A).

-5 → (A)

정답

-5

x = -5 검산: 정렬 -5, 4, 6, 8, 17의 중앙값은 6. 평균은

\frac{-5+4+6+8+17}{5}

\frac{30}{5}

= 6. 중앙값 = 평균 ✓. 탈락한 경우도 합리: 경우 B 후보 x = 8.75는 8 ＜ x 라 {6,8} 사이가 아니고, 경우 C 후보 x = 5는 5 ＜ 8이라 "8 이상"이 아님. 분류 자체가 정확.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 평균·중앙값 사고만 알면 풀 수 있어요! x 의 위치에 따라 중앙값은 6, x, 8 중 하나. 각 경우에서 평균 = 중앙값을 풀면 x = -5 (유효), x = $\frac{35}{4}$ (범위 밖), x = 5 (범위 밖). 합법인 값은 -5 하나뿐, 답 (A).

평균 식 쓰기
중앙값 세 경우 나누기
중앙값 6 검사하기
중앙값 x 검사하기
중앙값 8 검사하기
되는 경우만 남기기
선택지와 맞춰 보기

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